ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 394: Теорема Пифагора
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Вера Лапина, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Доказать, что касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Для доказательства утверждения о пересечении двух прямых в геометрии часто удобно использовать метод от противного. Предположим обратное: пусть касательные, проведённые через концы данной хорды, не пересекаются. Это означает, что они параллельны друг другу. Далее мы покажем, что это предположение приводит к противоречию с условием задачи (хорда не является диаметром).
Ход рассуждений и вычисление.
Пусть AB — данная хорда окружности с центром O, причём AB не проходит через центр O (то есть не является диаметром). Пусть l1 — касательная в точке A, а l2 — касательная в точке B.
Предположим, что l1∥l2. По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен этой касательной. Следовательно: OA⊥l1 OB⊥l2
Так как l1∥l2, то прямая OA, будучи перпендикулярной одной из параллельных прямых (l1), должна быть перпендикулярна и второй прямой (l2). Но мы уже знаем, что OB⊥l2. Через точку O можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой l2. Значит, прямые OA и OB должны совпадать.
Если прямые OA и OB совпадают, то точки A, O и B лежат на одной прямой. Это означает, что хорда AB проходит через центр окружности, то есть является диаметром.
Проверка и вывод.
Мы получили, что предположение о параллельности касательных (l1∥l2) влечёт за собой следствие: хорда AB является диаметром. Однако по условию задачи хорда AB не является диаметром. Возникло противоречие.
Следовательно, наше первоначальное предположение неверно. Касательные l1 и l2 не могут быть параллельны. Поскольку две непараллельные прямые на плоскости обязательно пересекаются, доказано, что касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром, пересекаются.
Доказано методом от противного: если бы касательные были параллельны, то радиусы в точки касания легли бы на одну прямую, что означало бы, что хорда является диаметром. Так как по условию хорда не диаметр, предположение ложно, значит, касательные пересекаются.
Задача требует строгого логического доказательства. Использован классический метод от противного. Важно подчеркнуть связь между перпендикулярностью радиуса к касательной и параллельностью самих касательных.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 394 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 394?
Краткий ответ: Доказано методом от противного: если бы касательные были параллельны, то радиусы в точки касания легли бы на одну прямую, что означало бы, что хорда является диаметром. Так как по условию хорда не диаметр, предположение ложно, значит, касательные пересекаются.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Теорема Пифагора.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.