ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 396: Теорема Пифагора
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Надежда Фомина, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Две окружности имеют общую точку M и общую касательную в этой точке. Прямая AB касается одной окружности в точке A, а другой — в точке B. Доказать, что точка M лежит на окружности с диаметром AB.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства того, что точка M лежит на окружности с диаметром AB, достаточно показать, что угол AMB является прямым (∠AMB=90°). Согласно теореме о вписанном угле, если сторона треугольника является диаметром окружности, то противолежащий этой стороне угол равен 90°. Для этого воспользуемся свойством касательных к окружности: отрезки касательных, проведённые из одной точки к окружности, равны. Введём вспомогательную точку K — пересечение общей касательной через M и прямой AB.
Вычисление и доказательство.
Пусть прямая MK — общая касательная к обеим окружностям в точке M, а прямая AB пересекает её в точке K. Точка K лежит вне обеих окружностей (или на их границе, но по условию задача предполагает общий случай пересечения).
- Рассмотрим первую окружность. Из точки K проведены две касательные к ней: одна касается в точке A (так как KA лежит на прямой AB, которая касается окружности в A), другая касается в точке M (так как KM лежит на общей касательной). По свойству касательных: KA=KM
- Рассмотрим вторую окружность. Аналогично, из точки K проведены две касательные к ней: одна касается в точке B (отрезок KB на прямой AB), другая касается в точке M (отрезок KM на общей касательной). Следовательно: KB=KM
- Из двух предыдущих равенств следует, что KA=KB=KM Это означает, что точка K равноудалена от точек A, B и M.
- Так как KA=KB, точка K является серединой отрезка AB. Поскольку KM=KA=KB, то расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно половине гипотенузы. Или проще: рассмотрим треугольник AMB. Медиана MK, проведённая к стороне AB, равна половине этой стороны (MK=1/2AB). Обратное утверждение к свойству медианы прямоугольного треугольника гласит: если медиана треугольника, проведённая к одной из сторон, равна половине этой стороны, то данный треугольник является прямоугольным, причём прямой угол находится при вершине, из которой проведена эта медиана.
- Следовательно, △AMB — прямоугольный с прямым углом при вершине M: ∠AMB=90°
Проверка и вывод.
Место геометрических точек M, для которых отрезок AB виден под прямым углом, представляет собой окружность с диаметром AB (за исключением самих точек A и B). Так как мы доказали, что ∠AMB=90°, то точка M действительно лежит на окружности, построенной на отрезке AB как на диаметре. Утверждение доказано.
Доказано, что ∠AMB=90°, следовательно, M лежит на окружности с диаметром AB.
Использовано свойство равенства отрезков касательных, проведенных из одной точки. Ключевой момент — распознавание того, что точка пересечения касательных является центром окружности, проходящей через A, B и M, или использование признака прямоугольного треугольника через медиану.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 396 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 396?
Краткий ответ: Доказано, что AMB = 90^ , следовательно, M лежит на окружности с диаметром AB.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Теорема Пифагора.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.