ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 399: Теорема Пифагора
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Павел Лебедев, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Доказать, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, а M — середина стороны BC. По условию точка O лежит на медиане AM. Нам нужно доказать, что либо AB=AC (треугольник равнобедренный), либо один из углов равен 90° (треугольник прямоугольный).
Ход решения.
1. Вспомним свойство центра описанной окружности: он равноудалён от всех вершин треугольника, то есть OA=OB=OC. Также известно, что центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к каждой стороне треугольника.
2. Рассмотрим сторону BC. Так как OB=OC, точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Пусть этот перпендикуляр пересекает BC в точке K. Поскольку O равноудалена от B и C, проекция точки O на прямую BC является серединой отрезка BC. Следовательно, точка K совпадает с точкой M (так как M — середина BC по определению медианы).
3. Таким образом, мы установили, что OM⊥BC. То есть медиана AM содержит отрезок OM, который перпендикулярен стороне BC. Значит, вся прямая AM перпендикулярна прямой BC (AM⊥BC).
4. Теперь рассмотрим два случая взаимного расположения точек A,O,M:
- Случай 1:** Точка O не совпадает с точкой M.
В этом случае медиана AM является высотой треугольника ABC, так как AM⊥BC. Если в треугольнике медиана, проведённая к основанию, одновременно является и высотой, то такой треугольник является равнобедренным. Действительно, из прямоугольных треугольников ABM и ACM: гипотенуза AM общая, катет BM=MC (так как M — середина). Следовательно, △ABM=△ACM по двум катетам, откуда AB=AC. Треугольник равнобедренный.
- Случай 2:** Точка O совпадает с точкой M.
Если центр описанной окружности лежит на середине стороны BC, то сторона BC является диаметром этой окружности. Согласно теореме об угле, опирающемся на диаметр, угол ∠BAC, вершина которого лежит на окружности, а стороны проходят через концы диаметра, равен 90°. Следовательно, треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при вершине A.
Проверка и вывод.
Мы рассмотрели все возможные положения центра O на медиане AM. Либо O смещена относительно середины BC (тогда медиана перпендикулярна основанию, и треугольник равнобедренный), либо O совпадает с серединой BC (тогда основание является диаметром, и треугольник прямоугольный). Других вариантов нет, так как O обязана лежать на серединном перпендикуляре к BC, который проходит через M. Утверждение доказано.
Доказательство
а) Центр O лежит на серединном перпендикуляре к BC. Так как M — середина BC, то OM⊥BC.
б) Медиана AM содержит OM, значит AM⊥BC.
в) Если O≠M, то медиана AM является высотой ⇒△ABC равнобедренный (AB=AC).
г) Если O=M, то BC — диаметр ⇒∠A=90°, △ABC прямоугольный.
Ключевое наблюдение: центр описанной окружности всегда лежит на серединном перпендикуляре к стороне. Для стороны BC этот перпендикуляр проходит через её середину M. Если центр O лежит на медиане AM, то линия OM (часть медианы) должна быть перпендикулярна BC. Это приводит к тому, что медиана AM становится высотой. Если O совпадает с M, то это вырожденный случай для 'высоты', но геометрически означает, что BC - диаметр.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 399 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 399?
Краткий ответ: Доказательство: 1. Центр O лежит на серединном перпендикуляре к BC. Так как M — середина BC, то OM BC. 2. Медиана AM содержит OM, значит AM BC. 3. Если O ≠ M, то медиана AM является высотой ABC равнобедренный (AB=AC). 4. Если O = M, то BC — диаметр A = 90^ , ABC прямоугольный.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Теорема Пифагора.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.