ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 403: Теорема Пифагора

План доказательства.

Пусть даны две параллельные прямые l₁ и l₂, то есть l₁∥l₂. Пусть a — ось симметрии. Обозначим через l′₁ и l′₂ прямые, симметричные прямым l₁ и l₂ относительно прямой a. Нам нужно доказать, что l′₁∥l′₂.

Воспользуемся свойством осевой симметрии: она сохраняет расстояния между точками и превращает прямую в прямую. Если бы прямые l′₁ и l′₂ пересекались, то существовала бы точка P′, принадлежащая обеим прямым. Эта точка была бы симметрична некоторой точке P, лежащей одновременно на l₁ и l₂. Однако по условию l₁∥l₂, значит, общих точек у них нет. Следовательно, не может быть общей точки и у их образов.

Строгое геометрическое рассуждение.

Допустим обратное: пусть прямые l′₁ и l′₂ не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке M′. По определению симметрии относительно прямой a, существует точка M, симметричная M′, такая что M лежит на исходной прямой, симметричной той, которой принадлежит M′. Поскольку M′∈l′₁, то прообраз M должен лежать на l₁. Аналогично, поскольку M′∈l′₂, то прообраз M должен лежать на l₂. Таким образом, точка M является общей для прямых l₁ и l₂.

Но это противоречит условию задачи, так как l₁∥l₂ (параллельные прямые не имеют общих точек). Значит, наше предположение неверно, и прямые l′₁ и l′₂ не могут пересекаться.

Проверка и вывод.

Так как прямые l′₁ и l′₂ лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, по определению параллельных прямых они параллельны. Указание из учебника подтверждает корректность перехода: если бы различные точки исходных прямых могли перейти в одну и ту же точку, это нарушило бы биективность отображения симметрии, но осевая симметрия — взаимно однозначное преобразование плоскости.

Что и требовалось доказать.