ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 408: Теорема Пифагора
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Сергей Мишин, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Точка пересечения двух равных хорд лежит на диаметре. Доказать, что эти хорды симметричны относительно прямой, содержащей этот диаметр.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Чтобы доказать симметричность двух хорд относительно диаметра, достаточно показать, что концы этих хорд являются симметричными точками относительно прямой, содержащей диаметр. Для этого воспользуемся свойством равных хорд: они равноудалены от центра окружности. Проведём перпендикуляры из центра к данным хордам и рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные радиусами, половинами хорд и расстояниями до хорд.
Ход решения.
Пусть дана окружность с центром O и диаметром AB. Две равные хорды CD и EF пересекаются в точке M, лежащей на диаметре AB. Так как хорды равны (CD=EF), то их расстояния от центра равны. Опустим перпендикуляры OK и OL на хорды CD и EF соответственно. Тогда OK=OL.
Рассмотрим прямоугольные треугольники △OKM и △OLM. В них:
- OM — общая гипотенуза;
- OK=OL (катеты равны, так как это расстояния от центра до равных хорд).
Также из равенства треугольников следует, что точки K и L симметричны относительно прямой AB. Поскольку K и L — середины хорд CD и EF, а сами хорды перпендикулярны этим радиусам-перпендикулярам, то вся конфигурация хорд симметрична относительно оси AB. Концы хорд C и D симметричны концам E и F (или наоборот, в зависимости от ориентации) относительно диаметра.
Проверка и вывод.
Мы показали, что геометрическое расположение равных хорд, пересекающихся на диаметре, полностью определяется симметрией относительно этого диаметра. Если отразить одну хорду относительно прямой AB, она совпадёт со второй хордой, так как сохраняются длина хорды, расстояние от центра и точка пересечения с осью симметрии. Таким образом, утверждение доказано.
Доказательство основано на равенстве прямоугольных треугольников, образованных центром окружности, точкой пересечения хорд и основаниями перпендикуляров к хордам. Равенство этих треугольников устанавливает симметрию хорд относительно диаметра.
В решении использован стандартный подход через равенство треугольников, образованных перпендикулярами из центра к хордам. Указание на задачу 341 обычно подразумевает использование свойства равных хорд быть равноудалёнными от центра.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 408 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 408?
Краткий ответ: Доказательство основано на равенстве прямоугольных треугольников, образованных центром окружности, точкой пересечения хорд и основаниями перпендикуляров к хордам. Равенство этих треугольников устанавливает симметрию хорд относительно диаметра.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Теорема Пифагора.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.