ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 407: Теорема Пифагора

План доказательства.

Чтобы доказать, что прямая l, проходящая через центр окружности O, является осью симметрии, нужно показать, что при отражении относительно этой прямой любая точка окружности переходит в точку той же окружности. Для этого возьмём произвольную точку A на окружности и построим её симметричную точку A′ относительно прямой l. Нам необходимо убедиться, что расстояние от центра O до точки A′ равно радиусу окружности.

Ход решения.

1. Пусть дана окружность с центром O и радиусом R. Проведём произвольную прямую l, проходящую через центр O. Эта прямая пересекает окружность в двух точках, образуя диаметр.

2. Возьмём на окружности произвольную точку A, не лежащую на прямой l. Опустим из точки A перпендикуляр на прямую l, обозначив основание перпендикуляра за точку H. Продлим отрезок AH за точку H на такое же расстояние, чтобы получить точку A′, то есть так, что AH=HA′. По определению, точка A′ симметрична точке A относительно прямой l.

3. Рассмотрим треугольники △AHO и △A′HO. Они прямоугольные (extугол AHO=угол A′HO=90^°), имеют общий катет OH и равные катеты AH=HA′ по построению. Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам.

4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих гипотенуз: OA=OA′.

5. Так как точка A лежит на окружности, то OA=R. Значит, и OA′=R. Это означает, что точка A′ также лежит на данной окружности.

6. Если точка A совпадает с одной из точек пересечения прямой l с окружностью, то она остаётся на месте при симметрии (так как лежит на оси) и, очевидно, принадлежит окружности.

Вывод.

Мы показали, что образ любой точки окружности при симметрии относительно прямой l также принадлежит этой окружности. Следовательно, прямая l является осью симметрии окружности. Поскольку прямая l выбиралась произвольно среди всех прямых, проходящих через центр, утверждение доказано для любой такой прямой.