ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 409: Теорема Пифагора

План доказательства.

Для начала вспомним важное свойство: если у треугольника есть хотя бы одна ось симметрии, то этот треугольник является равнобедренным. Это следует из того, что отражение относительно оси симметрии переводит вершины треугольника в его же вершины, сохраняя расстояния между ними. Если ось проходит через одну вершину и середину противоположной стороны, то две другие стороны равны.

Ход рассуждений.

Пусть дан треугольник ABC, который имеет две оси симметрии. Обозначим их как l₁ и l₂.
Так как l₁ — ось симметрии треугольника ABC, то по указанному выше свойству треугольник ABC является равнобедренным. Пусть, например, AB=AC. Тогда ось симметрии l₁ совпадает с биссектрисой угла A (и медианой/высотой к стороне BC).
Аналогично, так как l₂ — вторая ось симметрии этого же треугольника, она также должна быть осью симметрии равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике существует только одна ось симметрии, проходящая через вершину при основании и середину основания, либо через вершину при основании и середину боковой стороны? Нет, давайте посмотрим внимательнее.
Если треугольник равнобедренный (AB=AC), его единственная ось симметрии проходит через вершину A и середину стороны BC. Допустим, это ось l₁.
Но по условию у нас есть ещё одна ось симметрии l₂. Ось симметрии треугольника всегда проходит через одну из вершин и середину противоположной стороны. Значит, l₂ проходит либо через вершину B, либо через вершину C.
Предположим, l₂ проходит через вершину B. Тогда отражение относительно l₂ переводит сторону BA в сторону BC (или наоборот, но так как A и C должны перейти друг в друга или остаться на месте, а B остаётся на месте). Поскольку l₂ — ось симметрии, то BA=BC.
Итак, мы получили, что AB=AC (из наличия оси l₁) и AB=BC (из наличия оси l₂).
Следовательно, AB=BC=AC. Треугольник ABC является равносторонним.

Вывод и проверка.

Мы доказали, что наличие двух осей симметрии влечёт за собой равенство всех трёх сторон треугольника, то есть он равносторонний.
Известно, что равносторонний треугольник обладает тремя осями симметрии: каждая из них является медианой, высотой и биссектрисой, проведённой из соответствующей вершины.
Таким образом, если у треугольника есть две оси симметрии, то он равносторонний, а значит, у него обязательно есть и третья ось симметрии. Что и требовалось доказать.