ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 400: Теорема Пифагора
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Никита Ершов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром O_1, и около него описана окружность с центром O_2. Доказать, что точки O_1 и O_2 лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Нам нужно показать, что центры вписанной (O1) и описанной (O2) окружностей равнобедренного треугольника лежат на одной прямой — серединном перпендикуляре к основанию. Для этого воспользуемся свойством симметрии равнобедренного треугольника: его ось симметрии проходит через вершину против основания и является одновременно медианой, высотой и биссектрисой, проведённой из этой вершины. Также вспомним определения центров окружностей: центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов, а центр описанной — на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам.
Ход решения.
Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Проведём серединный перпендикуляр к основанию AC. Так как треугольник равнобедренный (AB=BC), то этот перпендикуляр проходит через вершину B и совпадает с биссектрисой угла B, медианой и высотой, опущенной на основание AC. Обозначим эту прямую за l.
Рассмотрим центр вписанной окружности O1. По определению, он лежит на пересечении биссектрис всех углов треугольника. Следовательно, точка O1 обязательно лежит на биссектрисе угла B. Поскольку в равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине совпадает с серединным перпендикуляром к основанию (прямая l), то точка O1 лежит на прямой l.
Теперь рассмотрим центр описанной окружности O2. По определению, он лежит на пересечении серединных перпендикуляров ко всем сторонам треугольника. Значит, точка O2 по определению лежит на серединном перпендикуляре к стороне AC. Но мы уже установили, что этот перпендикуляр есть прямая l. Следовательно, точка O2 также лежит на прямой l.
Вывод и проверка.
Мы доказали, что обе точки O1 и O2 принадлежат одной и той же прямой l, которая является серединным перпендикуляром к основанию треугольника. Это полностью соответствует условию задачи. Логика непротиворечива: свойства симметрии равнобедренного треугольника гарантируют совпадение ключевых линий (биссектрисы вершины и серединного перпендикуляра к основанию), на которых обязаны находиться соответствующие центры окружностей.
Доказано, что оба центра лежат на оси симметрии треугольника, совпадающей с серединным перпендикуляром к основанию.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 400 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 400?
Краткий ответ: Доказано, что оба центра лежат на оси симметрии треугольника, совпадающей с серединным перпендикуляром к основанию.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Теорема Пифагора.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.