7–9 классы Признаки параллелограмма § 49. Признаки параллелограмма

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 471: Признаки параллелограмма

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Роман Жуков, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 470 472 →

Условие

Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если а) ∠BAC=∠ACD и ∠BCA=∠DAC б) AB || CD, ∠A = ∠C.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для доказательства того, что четырёхугольник является параллелограммом, будем опираться на признаки параллелограмма. В пункте а) мы воспользуемся признаком: если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны или параллельны (здесь удобнее через углы и параллельность), то это параллелограмм. В пункте б) используем признак: если две противоположные стороны параллельны и противоположные углы равны, то это параллелограмм.

Решение пункта а)

Рассмотрим прямые AB и CD, которые пересекаются секущей AC. По условию дано равенство накрест лежащих углов: ∠BAC=∠ACD.
Согласно признаку параллельности прямых, если накрест лежащие углы при пересечении двух прямых третьей секущей равны, то эти прямые параллельны. Следовательно, AB∥CD.
Теперь рассмотрим прямые BC и AD, которые также пересекаются той же секущей AC. По условию дано равенство накрест лежащих углов: ∠BCA=∠DAC.
Аналогично предыдущему шагу, из равенства этих углов следует, что BC∥AD.
Мы получили, что в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны (AB∥CD и BC∥AD). По определению параллелограмма, такой четырёхугольник является параллелограммом.

Решение пункта б)

По условию известно, что сторона AB параллельна стороне CD: AB∥CD.
Также дано равенство противоположных углов: ∠A=∠C.
Вспомним свойство параллельных прямых: сумма односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 180^°. Рассмотрим секущую AD для параллельных прямых AB и CD. Тогда ∠A+∠D=180^°. Отсюда выразим угол D: ∠D=180^°-∠A.
Рассмотрим секущую BC для тех же параллельных прямых AB и CD. Сумма односторонних углов ∠B+∠C=180^°. Отсюда ∠B=180^°-∠C.
Так как по условию ∠A=∠C, то подставив это равенство в выражения для углов B и D, получаем: ∠B=180^°-∠A и ∠D=180^°-∠A. Следовательно, ∠B=∠D.
Теперь у нас есть равенство противоположных углов ∠B=∠D и уже известное ∠A=∠C. Четырёхугольник с попарно равными противоположными углами является параллелограммом. Либо можно доказать параллельность сторон AD и BC: так как ∠A+∠B=∠A+(180^°-∠A)=180^°, то по признаку параллельности прямых (сумма односторонних углов равна 180^°) следует, что AD∥BC.
Итак, AB∥CD (по условию) и AD∥BC (доказано). Значит, ABCD — параллелограмм.

Ответ

а) Из равенства накрест лежащих углов следует AB		CD и BC		AD, значит ABCD — параллелограмм.
б) Из AB		CD следует ∠A + ∠D = 180° и ∠B + ∠C = 180°. Так как ∠A = ∠C, то ∠B = ∠D. Также находим, что ∠A + ∠B = 180°, откуда AD		BC. Противоположные стороны параллельны, значит ABCD — параллелограмм.

В пункте а) ключевым моментом является распознавание накрест лежащих углов относительно диагонали AC. В пункте б) важно аккуратно использовать свойства параллельных прямых для нахождения связей между всеми четырьмя углами, чтобы доказать параллельность второй пары сторон.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 471 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 471?

Краткий ответ: а) Из равенства накрест лежащих углов следует AB || CD и BC || AD, значит ABCD — параллелограмм. б) Из AB || CD следует ∠A + ∠D = 180° и ∠B + ∠C = 180°. Так как ∠A = ∠C, то ∠B = ∠D. Также находим, что ∠A + ∠B = 180°, откуда AD || BC. Противоположные стороны параллельны, значит ABCD — параллелограмм.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 49. Признаки параллелограмма.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.