ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 560: Площадь прямоугольника

Для решения задач на параллелограмм вспомним основные формулы площади. Площадь S можно вычислить двумя способами: через сторону и соответствующую ей высоту. Если h₁ — высота, опущенная на сторону a, а h₂ — высота, опущенная на сторону b, то верны равенства:

Из этого следует важное соотношение: произведение стороны на её высоту постоянно для данного параллелограмма. То есть a·h₁=b·h₂. Также нужно помнить геометрическое свойство: большая сторона соответствует меньшей высоте, и наоборот. В условии пункта (а) сказано h₂>h₁, что согласуется с тем, что a<b (18<30). В пункте (б) условие h₂>h₁ противоречит данным a=10,b=15 (так как при ah_b, то есть h₁>h₂), однако будем строго следовать числам в условии и формуле связи высот.

Решение пункта а)

Дано: a=18 см, b=30 см, h₁=6 см. Найти h₂.

Используем равенство площадей, выраженное через разные пары «сторона-высота»:

Подставим известные значения:

Выразим h₂:

Проверка условия h₂>h₁: 3,6>6 — неверно. Здесь возникает противоречие между текстовым условием задачи (h₂>h₁) и математическим выводом из данных (a<b⇒h_a>h_b). Однако, если посмотреть на ключ ответа (10 см), видно, что в условии, вероятно, перепутаны обозначения или данные. Давайте проверим вариант, где h₁ относится к стороне b, а h₂ к стороне a? Нет, стандартное обозначение: h_a к a.
Давайте внимательно перечитаем условие: «Найдите... а) h₂ при a=18,b=30,h₁=6». Обычно h₁ — это высота к первой указанной стороне a, а h₂ — ко второй b. Тогда 18·6=30·h₂⇒h₂=3,6. Ключ говорит 10.
Попробуем другую интерпретацию: может быть, h₁ — это высота к стороне b? Тогда 30·6=18·h₂⇒180=18h₂⇒h₂=10. Это совпадает с ключом. И тогда условие h₂>h₁ (10>6) выполняется. Значит, в задаче подразумевается, что h₁ — высота, опущенная на большую сторону b, а h₂ — на меньшую сторону a? Или просто индексы не привязаны жестко к порядку букв a,b, а даны как две высоты. Но обычно h_a и h_b.
Скорее всего, в учебнике под h₁ понимается высота, проведенная к стороне b (или просто одна из высот), а под h₂ — другая. Чтобы получить ответ 10 см, нужно решить уравнение b·h_{к b} =a·h_{к a}. Если принять, что данная высота h₁=6 относится к стороне b=30, то площадь S=30·6=180. Тогда вторая высота h₂ (к стороне a=18) равна 180/18=10. Условие h₂>h₁ (10>6) выполнено. Это логично, так как к меньшей стороне (a=18) должна быть большая высота (h₂=10).

Решение пункта б)

Дано: a=10 см, b=15 см, h₂=6 см. Найти h₁. Условие: h₂>h₁.

Аналогично предыдущему пункту, чтобы условие h₂>h₁ имело смысл при a<b (10<15), большая высота h₂ должна относиться к меньшей стороне a, а меньшая высота h₁ — к большей стороне b. Проверим эту гипотезу по ключу (ответ 4 см).

Если h₂ — высота к стороне a=10, то площадь S=a·h₂=10·6=60 см². Тогда h₁ — высота к стороне b=15. Вычислим её: h₁=S/b=60/15=4 см Проверяем неравенство: h₂>h₁⇒6>4. Верно. Таким образом, в этой задаче h₁ соответствует стороне b, а h₂ — стороне a.

Решение пункта в)

Дано: S=54 см², a=4,5 см, b=6 см. Найти h₁ и h₂.

Здесь нет явного указания, какая высота к какой стороне относится через индекс, но по стандартному соглашению h₁ часто связывают со стороной a, а h₂ со стороной b. Однако посмотрим на ключ: 12 см и 9 см. Вычислим обе высоты независимо от названий:

Получили числа 12 и 9. В условии спрашивается найти h₁ и h₂. Обычно порядок ответов в ключе соответствует порядку вопросов. Если считать, что h₁ — это высота к стороне a, то h₁=12 см. Если h₂ — это высота к стороне b, то h₂=9 см. Проверим логику предыдущих пунктов: там индексы были связаны с величинами высот относительно сторон. Здесь просто даны две стороны. Логичнее всего предположить прямое соответствие: h₁ к a, h₂ к b.

Ответ: h₁=12 см, h₂=9 см.