ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 562: Площадь прямоугольника
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Татьяна Белова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В параллелограмме диагональ равна его стороне. Большая сторона равна 15,2 см, один из углов равен 45°. Нужно вычислить площадь.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Рассмотрим параллелограмм ABCD, где большая сторона AD=BC=15,2 см. По условию одна из диагоналей равна стороне. Так как в треугольнике сумма двух сторон должна быть больше третьей, а разность меньше третьей, диагональ не может быть равна большей стороне (иначе получился бы вырожденный или невозможный для данного угла случай с противоречием неравенства треугольника при стандартной конфигурации, либо это означало бы равенство меньшей стороне). Проверим логику: пусть диагональ AC равна меньшей стороне AB. Тогда треугольник ABC равнобедренный.
Один из углов параллелограмма равен 45°. Пусть △ABC — равнобедренный с основанием BC? Нет, если AC=AB, то основание BC. Но BC — большая сторона (15,2). В равнобедренном треугольнике с боковыми сторонами x и основанием y высота к основанию делит его пополам. Угол при вершине A может быть 45° или смежный ему 135°. Если угол B=45°, то так как AB=AC, то △ABC равнобедренный с углом при основании B=45°. Значит, угол C тоже 45°, а угол A=90°. Тогда BC является гипотенузой прямоугольного равнобедренного треугольника ABC. Это возможно.
Итак, у нас есть прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом при вершине A (угол параллелограмма при вершине A будет состоять из этого 90° плюс часть другого угла, но давайте посмотрим на площадь через высоту). Проще найти высоту параллелограмма, опущенную на большую сторону BC. В треугольнике ABC (где AB=AC) угол B=45°. Высота ha из вершины A на сторону BC является медианой и биссектрисой в равнобедренном треугольнике? Нет, здесь AB=AC, значит высота из A на BC делит BC пополам. Пусть M — середина BC. Тогда BM=MC=15,2/2=7,6 см. В прямоугольном треугольнике ABM угол B=45°, следовательно, он равнобедренный, и высота AM=BM=7,6 см. Эта высота AM является также высотой параллелограмма, опущенной на сторону BC.
Площадь параллелограмма вычисляется по формуле S=a·h, где a — сторона, к которой проведена высота. Здесь a=BC=15,2 см, h=AM=7,6 см. S=15,2·7,6 Выполним умножение: 15,2·7,6=115,52 см²
115,52 см²
Задача решается через свойства равнобедренного треугольника, образованного диагональю и двумя сторонами. Диагональ равна меньшей стороне. При угле 45 градусов и условии равенства диагонали и стороны, треугольник оказывается прямоугольным равнобедренным, если рассматривать проекцию высоты. Более строгий вывод: пусть AB=x, AD=y=15.2. AC=x. Треугольник ABC со сторонами x, x, y. Угол B=45. По теореме синусов или косинусов можно найти связь. Но геометрически проще: если провести высоту AH к BC, то в треуг ABH (прямоугольный) угол B=45, значит BH=AH=h. В треуг AHC (прямоугольный) AC=x, AH=h, HC=BC-BH=15.2-h. По Пифагору: x^2 = h^2 + (15.2-h)^2. Также в треуг ABH: x^2 = h^2 + h^2 = 2h^2. Приравниваем: 2h^2 = h^2 + (15.2-h)^2 => h^2 = (15.2-h)^2 => h = 15.2 - h (так как длины положительны) => 2h = 15.2 => h = 7.6. Площадь S = BC * h = 15.2 * 7.6 = 115.52.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 562 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 562?
Краткий ответ: 115,52 см².
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 56. Площадь прямоугольника.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.