ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 573: Площадь прямоугольника

План решения:

Чтобы разделить треугольник на три части равной площади с помощью прямых, проходящих через одну вершину, нужно использовать свойство медиан и площадей треугольников с общей высотой. Если провести из вершины A отрезки к точкам деления противоположной стороны BC, то все полученные треугольники будут иметь одинаковую высоту (расстояние от A до прямой BC). Следовательно, их площади будут пропорциональны основаниям на стороне BC. Значит, достаточно разбить сторону BC на три равных отрезка.

Пошаговое построение:

1. Начертите произвольный треугольник ABC.
2. Измерьте длину стороны BC с помощью линейки или циркуля.
3. Разделите отрезок BC на три равные части. Для этого можно воспользоваться теоремой Фалеса: проведите из точки B луч под острым углом к BC, отложите на нём три равных отрезка произвольной длины, соедините последнюю точку с C и проведите параллельные линии через промежуточные точки к BC. Или просто измерьте длину BC, разделите числовое значение на 3 и отложите полученную длину дважды от точки B.
4. Обозначьте точки деления на стороне BC как M и N так, чтобы порядок точек был B,M,N,C.
5. Проведите две прямые (отрезки) AM и AN.

Проверка и обоснование:

Рассмотрим три полученных треугольника: ABM, AMN и ANC. У всех трёх треугольников высота, опущенная из вершины A на прямую BC, одна и та же — обозначим её h. Площади этих треугольников вычисляются по формуле S=1/2·a·h, где a — длина основания. По условию построения мы сделали так, что BM=MN=NC. Пусть эта длина равна x. Тогда: S_ABM=1/2xh S_AMN=1/2xh S_ANC=1/2xh Следовательно, S_ABM=S_AMN=S_ANC, и каждая часть составляет ровно треть от площади всего треугольника ABC. Прямые AM и AN делят треугольник на три равновеликие части.