ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 576: Теорема Пифагора
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Илья Морозов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В выпуклом четырёхугольнике диагонали перпендикулярны. Докажите, что его площадь равна половине произведения длин диагоналей.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства утверждения о площади выпуклого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями мы разобьём его на четыре прямоугольных треугольника. Точка пересечения диагоналей станет общей вершиной для этих треугольников. Затем выразим площадь каждого треугольника через отрезки диагоналей и сложим полученные значения, чтобы вывести итоговую формулу.
Вычисление и доказательство.
Пусть дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По условию задачи диагонали перпендикулярны, то есть AC⊥BD. Это означает, что все углы при вершине O являются прямыми (90°).
Диагонали делят четырёхугольник на четыре треугольника: △AOB, △BOC, △COD и △DOA. Поскольку они прямоугольные, их площади можно найти как половину произведения катетов (отрезков диагоналей):
SAOB=1/2AO·BO SBOC=1/2BO·CO SCOD=1/2CO·DO SDOA=1/2DO·AOПлощадь всего четырёхугольника равна сумме площадей этих четырёх треугольников:
SABCD=SAOB+SBOC+SCOD+SDOAПодставим выражения для площадей и сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить общие множители:
SABCD=1/2AO·BO+1/2BO·CO+1/2CO·DO+1/2DO·AOВынесем общий множитель 1/2 за скобки и перегруппируем члены:
SABCD=1/2[AO(BO+DO)+CO(BO+DO)]Заметим, что (BO+DO) — это длина всей диагонали BD, а (AO+CO) — это длина всей диагонали AC. Тогда:
SABCD=1/2[(AO+CO)·(BO+DO)] SABCD=1/2AC·BDПроверка.
Рассмотрим частный случай — квадрат со стороной a. Его диагонали равны d=a2 и перпендикулярны. Площадь квадрата по известной формуле равна a2. По нашей выведенной формуле: S=1/2d·d=1/2(a2)2=1/2·2a2=a2. Результаты совпадают, что подтверждает правильность вывода.
Доказано: S=1/2d1d2
В решении использован метод разбиения фигуры на части. Важно подчеркнуть, что перпендикулярность диагоналей делает все образующиеся треугольники прямоугольными, что позволяет использовать простую формулу площади прямоугольного треугольника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 576 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 576?
Краткий ответ: Доказано: S = 12 d_1 d_2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Теорема Пифагора.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.