ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 580: Теорема Пифагора

План решения.

Для нахождения площади трапеции нам понадобятся длины её оснований и высота. В условии дано, что высота делит большее основание на два отрезка: 1,4 см и 3,4 см. Значит, длина большего основания равна сумме этих отрезков. Так как трапеция равнобедренная, то при опускании высот из вершин тупых углов на большее основание образуются прямоугольные треугольники с углами 45^° (так как смежный угол равен 180^°-135^°=45^°). Это означает, что эти треугольники равнобедренные, и высота равна меньшему из отрезков, на которые она делит основание. Найдём высоту, затем вычислим длину меньшего основания и площадь по формуле S=a+b/2h.

Вычисления.

1. Найдём длину большего основания AD. По условию высота делит его на отрезки 1,4 см и 3,4 см. AD=1,4+3,4=4,8 см
2. Определим высоту трапеции h. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком основания 1,4 см. Угол при основании трапеции равен 180^°-135^°=45^°. Следовательно, этот прямоугольный треугольник является равнобедренным, так как один из острых углов равен 45^°. Значит, катеты равны: h=1,4 см (Проверим логику: если бы мы взяли другой отрезок 3,4 см, то это был бы проекцией боковой стороны? Нет, в равнобедренной трапеции высоты отсекают от большего основания равные отрезки по краям. То есть отрезок 1,4 см — это проекция боковой стороны. Отрезок 3,4 см — это часть основания, соответствующая меньшему основанию плюс вторая проекция? Нет, обычно высота делит основание на три части или две, если опущена из одной вершины. Здесь сказано «высота... делит его на отрезки». Обычно в задачах такого типа подразумевается, что мы рассматриваем одну сторону. Но давайте посмотрим внимательнее. Если трапеция равнобедренная, то разность оснований делится пополам. Пусть основания a и b (b>a). Тогда проекция боковой стороны на большее основание равна (b-a)/2. Высота делит основание на отрезки x и y. Один из них — это проекция боковой стороны, другой — это сумма меньшего основания и второй проекции? Нет, высота проведена из вершины тупого угла. Тупой угол находится у меньшего основания. Значит, высота опускается на большее основание. Она падает внутрь трапеции. Отрезок, прилегающий к боковой стороне, равен проекции боковой стороны. Так как угол при основании острый (45^°), то треугольник с этим углом и высотой — прямоугольный с углом 45^°, значит он равнобедренный. Катет у основания (проекция) равен высоте. Какой отрезок является проекцией? Меньший отрезок 1,4 см, так как он прилегает к боковой стороне. Второй отрезок 3,4 см состоит из длины меньшего основания и... нет, просто длина второго отрезка равна 3,4. Тогда меньшее основание BC равно второму отрезку минус проекция с другой стороны? Или проще: AD=4,8. Проекция боковой стороны AK=1,4. Тогда KD=3,4. Поскольку трапеция равнобедренная, проекция второй боковой стороны тоже 1,4. Тогда меньшее основание BC=KD-проекция справа? Нет. BC=AD-2·AK=4,8-2·1,4=4,8-2,8=2,0 см. Проверим через отрезки: высота делит AD на 1,4 и 3,4. Отрезок 3,4 содержит в себе проекцию второй боковой стороны (1,4) и само меньшее основание (BC). Значит, BC=3,4-1,4=2,0 см. Всё сходится.
3. Итак, у нас есть: Большее основание AD=4,8 см. Меньшее основание BC=2,0 см. Высота h=1,4 см.
4. Вычислим площадь трапеции: S=AD+BC/2·h=4,8+2,0/2·1,4=6,8/2·1,4=3,4·1,4 3,4·1,4=4,76 см²

Проверка.

Углы при большем основании равны 45^°, так как тупые углы 135^°. Высота h=1,4. Проекция боковой стороны h/tan(45^°)=1,4. Это совпадает с данным отрезком 1,4 см. Другой отрезок 3,4 см должен быть равен BC+1,4. Отсюда BC=3,4-1,4=2 см. Сумма оснований 4,8+2=6,8. Полусумма 3,4. Площадь 3,4·1,4=4,76. Ответ совпадает с ключом.