ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 578: Теорема Пифагора
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Никита Ершов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD при следующих данных
а) AB=21 см, CD=17 см, высота BH=7 см
б) угол D=30°, AB=2 см, CD=10 см, боковая сторона DA=8 см
в) BC перпендикулярно AB, AB=5 см, BC=8 см, CD=13 см.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи вспомним формулу площади трапеции: S=1/2(a+b)h, где a и b — длины оснований, а h — высота. В каждом пункте нам нужно найти недостающие данные (высоту или проекции), используя свойства прямоугольных треугольников и теорему Пифагора.
а) Даны основания AB=21 см, CD=17 см и высота BH=7 см. Здесь все необходимые величины уже известны. Подставим их в формулу:
- S=1/2(21+17)·7
- S=1/2·38·7
- S=19·7=133 см².
б) Даны основания AB=2 см, CD=10 см, боковая сторона DA=8 см и угол ∠D=30°. Нам нужно найти высоту трапеции. Опустим перпендикуляр AH из вершины A на основание CD. В полученном прямоугольном треугольнике ADH гипотенуза AD=8 см, а катет AH лежит против угла 30°. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы:
- h=AH=1/2AD=1/2·8=4 см.
Теперь вычислим площадь:
- S=1/2(AB+CD)·h=1/2(2+10)·4
- S=1/2·12·4=6·4=24 см².
в) Дано: BC⊥AB, значит, трапеция прямоугольная с высотой BC=8 см. Основания AB=5 см, CD=13 см. Проверим корректность данных через построение высоты. Опустим перпендикуляр BK из вершины B на основание CD. Тогда BK=BC=8 см (так как BCDK — прямоугольник? Нет, BC перпендикулярна AB, но не обязательно параллельна высоте, если это не прямоугольная трапеция в стандартном виде. Уточним: BC⊥AB. Так как AB∥CD, то BC⊥CD. Значит, BC является высотой трапеции).
Действительно, если BC перпендикулярна основанию AB, то она также перпендикулярна другому основанию CD. Следовательно, высота h=BC=8 см.
Вычислим площадь по формуле:
- S=1/2(AB+CD)·BC
- S=1/2(5+13)·8
- S=1/2·18·8=9·8=72 см².
Проверка пункта в): Если бы мы пытались найти другую сторону через теорему Пифагора, нам бы потребовалась проекция. Проекция CK=CD-DK=CD-AB=13-5=8 см. В треугольнике BKC (где K — проекция B на CD, но так как BC⊥CD, точка K совпадает с C?) Нет, опустим высоту из A на CD: пусть AM⊥CD. DM=CD-AB=13-5=8 см. Высота AM=BC=8 см. Тогда AD=82+82=82. Это не противоречит условию, так как длина AD не задана. Данные согласованы.
а) 133 см²
б) 24 см²
в) 72 см²
В пункте б) ключевым является знание свойства катета, лежащего против угла 30 градусов. В пункте в) важно правильно интерпретировать условие 'BC перпендикулярно AB': поскольку основания трапеции параллельны, перпендикуляр к одному основанию является перпендикуляром и к другому, то есть BC выступает в роли высоты.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 578 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 578?
Краткий ответ: а) 133 см² б) 24 см² в) 72 см².
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Теорема Пифагора.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.