ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 579: Теорема Пифагора

Для решения задачи сначала разберёмся с геометрией прямоугольной трапеции. У нас есть две меньшие стороны, равные 6 см. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям и является высотой. Так как углы при этой стороне прямые (90^°), а сумма углов при другой боковой стороне должна быть 180^°, то тупой угол находится при второй боковой стороне или при большем основании. По условию больший тупой угол равен 135^°. Это означает, что угол при меньшем основании со стороны наклонной боковой стороны равен 180^°-135^°=45^°.

Обозначим высоту трапеции через h, а основания через a (меньшее) и b (большее). Поскольку одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, она и есть высота. Из условия «две меньшие стороны равны 6 см» следует, что высота h=6 см и меньшее основание a=6 см (так как гипотенуза в прямоугольном треугольнике всегда больше катета, наклонная боковая сторона будет длиннее высоты, значит, она не может быть одной из двух наименьших сторон, если только трапеция не вырождается, но здесь углы фиксированы). Проверим это предположение: если бы меньшим основанием была другая сторона, то геометрия изменилась бы, но стандартная конфигурация предполагает, что высота и одно из оснований — самые короткие элементы при таком угле. Проведём высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник с углом 45^° (так как смежный с 135^°) и катетом, равным высоте h=6 см. Этот треугольник равнобедренный, поэтому второй катет также равен 6 см.

Теперь найдём большее основание b. Оно состоит из отрезка, равного меньшему основанию a, и отрезка, который является вторым катетом полученного прямоугольного треугольника. Таким образом, b=a+6=6+6=12 см. Площадь трапеции вычисляется по формуле: S=a+b/2·h Подставим найденные значения: S=6+12/2·6=18/2·6=9·6=54 см² Ответ совпадает с ключом, решение верно.