ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 572: Площадь прямоугольника

План решения. Чтобы сравнить площади двух треугольников, на которые медиана делит исходный треугольник, необходимо вспомнить определение медианы и формулу площади треугольника. Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Это означает, что она делит эту сторону на два равных отрезка. Для вычисления площадей полученных треугольников воспользуемся общей формулой S=1/2ah, где a — основание, а h — высота, опущенная на это основание.

Вычисление и рассуждение. Пусть дан треугольник ABC, и проведена медиана AM, где точка M лежит на стороне BC. По определению медианы, точка M является серединой отрезка BC, следовательно, длины оснований двух новых треугольников равны: BM=MC. Рассмотрим треугольники ABM и ACM. Их основания лежат на одной прямой BC. Высота, опущенная из вершины A на прямую BC, будет одинаковой для обоих треугольников. Обозначим эту высоту через h. Тогда площадь первого треугольника равна S_ABM=1/2·BM·h, а площадь второго — S_ACM=1/2·MC·h. Так как BM=MC, то выражения 1/2·BM·h и 1/2·MC·h тождественно равны.

Проверка и вывод. Мы установили, что у двух треугольников равны соответствующие основания (так как медиана делит сторону пополам) и общая высота (так как вершина одна и та же, а основания лежат на одной прямой). Следовательно, их площади обязательно равны. Это фундаментальное свойство медианы: любая медиана треугольника делит его на два равносоставленных (равновеликих) треугольника. Ответ согласуется с геометрической интуицией и ключом к задаче.