ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 571: Площадь прямоугольника

План доказательства.

Для того чтобы доказать равенство площадей треугольников с общим основанием AB и вершинами на прямой m, параллельной основанию, необходимо вспомнить формулу площади треугольника. Площадь любого треугольника вычисляется как половина произведения основания на высоту, опущенную на это основание: S=1/2ah. В данной задаче у всех рассматриваемых треугольников одно и то же основание — отрезок AB. Следовательно, для доказательства равенства их площадей достаточно показать, что высоты этих треугольников, проведенные к основанию AB, равны между собой.

Вычисление и обоснование.

Пусть C_1,C_2,… — произвольные точки на прямой m. Рассмотрим треугольники △ABC₁, △ABC₂ и т.д. Проведем из точек C_1,C₂ перпендикуляры к прямой AB. Длины этих перпендикуляров являются высотами соответствующих треугольников (h_1,h_2,…). По условию задачи прямая m проходит через точку C и параллельна прямой AB (m∥AB). Согласно свойству параллельных прямых (теорема п. 37 или определение расстояния между параллельными прямыми), расстояние между двумя параллельными прямыми постоянно в любой точке. Это расстояние измеряется длиной перпендикуляра, опущенного с одной прямой на другую. Таким образом, высота каждого треугольника с вершиной на прямой m равна расстоянию между параллельными прямыми m и AB. Обозначим это расстояние за h. Тогда площадь любого такого треугольника равна: S=1/2·AB·h Так как AB (основание) и h (высота, равная расстоянию между параллелями) одинаковы для всех треугольников, то и их площади равны.

Проверка вывода.

Мы использовали только два факта: формулу площади треугольника и свойство параллельных прямых иметь постоянное расстояние между собой. Логическая цепочка не содержит разрывов: если основание фиксировано и высота фиксирована (так как вершины лежат на параллельной прямой), то произведение 1/2ah будет одним и тем же числом для всех таких треугольников. Утверждение доказано.