ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 631: Формула Герона

Для решения задачи воспользуемся свойствами ромба и формулой площади. Нам дана высота h=42/6 см (которую можно упростить до 22/3 см) и связь высоты с большей диагональю d₁: h=2/3d₁. Площадь ромба можно найти как произведение полусуммы диагоналей: S=1/2d₁d₂. Для этого нужно выразить обе диагонали через сторону или друг друга.

Сначала найдем большую диагональ d₁ из условия:

• d₁=h·3/2=22/3·3/2=2 см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной диагонали d₁, половиной диагонали d₂ и стороной ромба a. Пусть меньшая диагональ равна d₂. Тогда катеты этого треугольника равны d₁/2=2/2 и d₂/2. Гипотенуза — это сторона ромба a.

Также площадь ромба можно вычислить через сторону и высоту: S=a·h. Приравняем два выражения для площади: a·h=1/2d₁d₂. Отсюда выразим a:

a=d₁d₂/2h

Подставим известные значения d₁=2 и h=22/3:

a=2·d₂/2·22/3=2·d₂/42/3=d₂·3/4=3/4d₂

Итак, мы получили связь между стороной и меньшей диагональю: a=3/4d₂. Теперь вернемся к теореме Пифагора в треугольнике с катетами 2/2, d₂/2 и гипотенузой a:

a²=(2/2)²+(d₂/2)²

Подставим a=3/4d₂:

(3/4d₂)²=2/4+d22/4

9/16d22=1/2+1/4d22

Приведем подобные слагаемые с d22:

9/16d22-4/16d22=1/2

5/16d22=1/2

d22=1/2·16/5=8/5

Отсюда d₂=8/5=22/5=210/5 см.

Теперь найдем площадь ромба по формуле S=1/2d₁d₂:

S=1/2·2·210/5=20/5=25/5 см².

Проверка: Найдем сторону a=3/4d₂=3/4·210/5=310/10. Вычислим площадь через S=a·h: S=310/10·22/3=620/30=20/5=25/5. Результаты совпадают.