ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 635: Формула Герона

План решения:

• Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC, так как AD — высота к основанию BC в равнобедренном треугольнике ABC. Значит, △ADC прямоугольный с прямым углом при вершине D.
• Вспомним свойство медианы, проведённой к гипотенузе в прямоугольном треугольнике: она равна половине гипотенузы. Здесь DM — медиана к гипотенузе AC.
• Найдём длину гипотенузы AC, а затем по теореме Пифагора найдём катет DC.
• Так как AD — высота равнобедренного треугольника ABC, то точка D является серединой основания BC. Следовательно, BC=2·DC.
• Вычислим площадь треугольника ABC по формуле S=1/2·BC·AD.

Вычисления:

1. По условию, в △ADC (∠D=90^°) медиана DM=8 см. Согласно свойству медианы прямоугольного треугольника: DM=1/2AC Отсюда находим гипотенузу AC: AC=2·DM=2·8=16 см
2. Теперь рассмотрим △ADC и применим теорему Пифагора для нахождения катета DC: AC²=AD²+DC² Подставим известные значения (AC=16, AD=8): 16²=8²+DC² 256=64+DC² DC²=256-64=192 DC=192=64·3=83 см
3. Так как △ABC равнобедренный (AB=AC) и AD — высота к основанию BC, то AD также является медианой. Значит, BD=DC. Длина основания BC: BC=BD+DC=2·DC=2·83=163 см
4. Найдём площадь треугольника ABC: S_ABC=1/2·BC·AD S_ABC=1/2·163·8 S_ABC=83·8=643 см²

Проверка:

Если AC=16 и AD=8, то △ADC имеет катет вдвое меньше гипотенузы, что соответствует углу 30^° при вершине C (так как AD/AC=8/16=1/2=1/2). Тогда DC=AC·3/2=16·3/2=83. Это совпадает с вычисленным значением. Площадь всего треугольника ABC будет удвоенной площадью △ADC: 2·(1/2·8·83)=643. Ответ верен.