ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 642: Отношение площадей подобных треугольников

План доказательства.

Чтобы доказать теорему о свойстве биссектрисы треугольника, нам нужно показать, что если AD — биссектриса угла A в треугольнике ABC, то отрезки BD и DC относятся как стороны AB и AC. Для этого воспользуемся методом вспомогательной параллельной прямой. Проведем через вершину C прямую, параллельную стороне AB, до пересечения с продолжением биссектрисы AD в точке E. Затем сравним площади треугольников или используем признаки подобия и равнобедренности.

Ход вычислений и рассуждений.

1. Пусть дан треугольник ABC, где AD — биссектриса угла BAC, то есть ∠BAD/∠DAC=1 (углы равны). Нужно доказать: BD/DC=AB/AC.

2. Проведем через точку C прямую, параллельную AB, и обозначим точку пересечения этой прямой с продолжением биссектрисы AD как E. То есть CE∥AB.

3. Рассмотрим углы при секущей AE. Так как AB∥CE, то накрест лежащие углы равны: ∠BAE=∠AEC.

4. По условию AD — биссектриса, значит, ∠BAE=∠CAE.

5. Из пунктов 3 и 4 следует, что ∠CAE=∠AEC. Это означает, что треугольник ACE является равнобедренным с основанием AE. Следовательно, боковые стороны равны: AC=CE.

6. Теперь рассмотрим треугольники ABD и ECD. У них вертикальные углы при вершине D равны (∠ADB=∠EDC), а также накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CE равны (∠ABD=∠ECD). Значит, эти треугольники подобны по двум углам: △ABD∼△ECD.

7. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: BD/DC=AB/CE.

8. Подставим найденное ранее равенство CE=AC в полученную пропорцию: BD/DC=AB/AC.

Проверка и вывод.

Мы получили искомое соотношение. Действительно, биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Логическая цепочка не содержит разрывов: построение параллельной прямой позволило создать равнобедренный треугольник и пару подобных треугольников, связавших искомые отрезки со сторонами исходного треугольника. Теорема доказана.