ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 637: Формула Герона
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Дмитрий Орлов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
В треугольнике ABC проведена высота BH. Докажите, что если
а) угол A острый, то BC2=AB2+AC2-2AC·AH
б) угол A тупой, то BC2=AB2+AC2+2AC·AH.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства этих утверждений нам потребуется рассмотреть прямоугольные треугольники, которые образуются при проведении высоты BH к стороне AC. В обоих случаях (острый и тупой угол A) высота BH перпендикулярна прямой AC, поэтому треугольники ABH и CBH являются прямоугольными с прямым углом при вершине H. Мы будем использовать теорему Пифагора для выражения квадратов гипотенуз через катеты.
Пункт а) Пусть угол A острый. Тогда основание высоты H лежит на отрезке AC. Из прямоугольного треугольника ABH по теореме Пифагора имеем: AH2+BH2=AB2⇒BH2=AB2-AH2. Из прямоугольного треугольника CBH имеем: CH2+BH2=BC2. Так как точка H лежит между A и C, то длина отрезка CH равна разности длин AC и AH: CH=AC-AH. Подставим выражение для CH и BH2 в формулу для BC2: BC2=(AC-AH)2+(AB2-AH2). Раскроем скобки по формуле квадрата разности: BC2=AC2-2AC·AH+AH2+AB2-AH2. Слагаемые AH2 и -AH2 взаимно уничтожаются, и мы получаем требуемое равенство: BC2=AB2+AC2-2AC·AH.
Пункт б) Пусть угол A тупой. В этом случае основание высоты H лежит на продолжении стороны AC за точку A. Порядок точек на прямой таков: H,A,C. Длина отрезка HC теперь равна сумме длин HA и AC: HC=HA+AC=AH+AC. Снова используем теорему Пифагора для треугольников ABH и CBH. Для ABH справедливо то же самое: BH2=AB2-AH2. Для CBH: BC2=HC2+BH2. Подставляем выражения: BC2=(AH+AC)2+(AB2-AH2). Раскрываем квадрат суммы: BC2=AH2+2AH·AC+AC2+AB2-AH2. После сокращения AH2 получаем итоговую формулу: BC2=AB2+AC2+2AC·AH.
а) Доказано через теорему Пифагора и подстановку CH=AC-AH.
б) Доказано через теорему Пифагора и подстановку CH=AC+AH.
Решение опирается на стандартный вывод обобщенной теоремы Пифагора (теорема косинусов в частном случае проекций). Важно четко различать расположение точки H относительно отрезка AC в зависимости от типа угла A.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 637 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 637?
Краткий ответ: а) Доказано через теорему Пифагора и подстановку CH = AC - AH. б) Доказано через теорему Пифагора и подстановку CH = AC + AH.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 62. Формула Герона.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.