ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 636: Формула Герона

План решения.

Для нахождения площади четырёхугольника ABKM целесообразно использовать метод вычитания. Площадь прямоугольника ABCD равна произведению его сторон. Четырёхугольник ABKM можно получить, если из площади треугольника ABD вычесть площадь треугольника KMD. Таким образом, нам нужно найти длины отрезков AK, KD или координаты точек, чтобы вычислить площади соответствующих фигур. Также можно рассмотреть подобие треугольников, образованных перпендикуляром CM к диагонали BD.

Вычисления.

1. Найдём длину диагонали BD по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике BCD:

2. Рассмотрим треугольники BKC и DKC. Так как CK⊥BD, то △BKC и △DKC — прямоугольные. Кроме того, △BCD — прямоугольный с катетами BC=8 и CD=6. Высота CK, проведённая к гипотенузе BD, делит её на отрезки BK и KD. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике:

3. Теперь найдём положение точки M на стороне AD. Прямая CM проходит через C и K. Рассмотрим подобие треугольников △DKM и △DBC? Нет, удобнее рассмотреть координатный метод или подобие треугольников △KDM и △KCB (вертикальные углы при K не равны, так как M,K,C лежат на одной прямой, а D,K,B на другой). Углы ∠MKD и ∠CKB вертикальные, но это не помогает напрямую без знания углов. Давайте используем подобие треугольников △MDC и △BCD? Нет. Рассмотрим △DKM и △BKC. Они не подобны автоматически. Воспользуемся тем, что △DKM∼△BKC? Проверим углы. ∠DKM=∠BKC (вертикальные). Но другие углы не обязательно равны. Лучше всего ввести систему координат. Пусть D(0;0), A(0;6), B(8;6), C(8;0). Тогда уравнение прямой BD: проходит через (0;0) и (8;6), значит y=6/8x=3/4x. Прямая CM перпендикулярна BD и проходит через C(8;0). Угловой коэффициент BD равен k₁=3/4, значит угловой коэффициент CM равен k₂=-4/3. Уравнение прямой CM: y-0=-4/3(x-8)⇒y=-4/3x+32/3. Точка M лежит на стороне AD. Сторона AD лежит на оси OY (x=0), так как D(0;0) и A(0;6). Подставим x=0 в уравнение CM: y_M=32/3=102/3. Это больше 6 (высоты AD). Значит, точка M находится на продолжении стороны AD за точку A? В условии сказано: «пересекает сторону AD в точке M». Проверим условие задачи внимательно. Если M на стороне AD, то 0≤y_M≤6. Здесь y_M>6. Возможно, я неверно расставил координаты или стороны. Стороны AB=6, BC=8. Обычно AB — ширина, BC — длина. Прямоугольник ABCD. Порядок вершин против часовой стрелки. A(0;6), B(6;6)? Нет, AB=6. Если A(0;6), B(6;6), то AB=6. Тогда BC=8 означает C(6;-2)? Нет, BC перпендикулярна AB. Если AB горизонтальна, то BC вертикальна. B(6;6), C(6;6-8)=(6;-2). Это неудобно. Давайте стандартно: A(0;h), B(w;h), C(w;0), D(0;0). AB=w=6, BC=h=8. Тогда A(0;8), B(6;8), C(6;0), D(0;0). Диагональ BD соединяет B(6;8) и D(0;0). Уравнение BD: y=8/6x=4/3x. Перпендикуляр CM к BD через C(6;0). k_BD=4/3, значит k_CM=-3/4. Уравнение CM: y-0=-3/4(x-6)⇒y=-3/4x+18/4=-3/4x+4.5. Точка M — пересечение с AD. Сторона AD лежит на оси OY (x=0), от y=0 до y=8. Подставим x=0: y_M=4.5. Так как 0≤4.5≤8, точка M действительно лежит на стороне AD. Координаты M(0;4.5). Точка K — пересечение BD и CM. 4/3x=-3/4x+4.5 Умножим на 12: 16x=-9x+54⇒25x=54⇒x_K=54/25=2.16. y_K=4/3·2.16=4·0.72=2.88. Координаты K(2.16;2.88). Нам нужна площадь четырёхугольника ABKM. Вершины: A(0;8), B(6;8), K(2.16;2.88), M(0;4.5). Разобьём этот четырёхугольник на два треугольника диагональю AM? Нет, AM — часть стороны AD. Лучше разбить на трапецию или вычесть из чего-то. Площадь S_ABKM можно найти как сумму площадей △ABK и △AKM? Или проще: вычесть из площади трапеции ABDM площадь △KDM? Рассмотрим фигуру ABDM. Это трапеция с основаниями AB=6 и DM=4.5 (так как M(0;4.5), D(0;0), длина DM=4.5) и высотой AD=8? Нет, боковая сторона AD перпендикулярна основаниям AB и DM (так как AB∥DM? Нет, AB горизонтальна, DM вертикальна. Они перпендикулярны). Давайте просто посчитаем площадь многоугольника по координатам (формула шнуровки) или разбивкой. Разобьём ABKM на △ABK и △AMK. 1) Площадь △ABK. Основание AB=6 (горизонтальный отрезок на y=8). Высота опущена из K на прямую AB. y_A=y_B=8, y_K=2.88. Высота h₁=8-2.88=5.12. S_ABK=1/2·6·5.12=3·5.12=15.36. 2) Площадь △AMK. Вершины A(0;8), M(0;4.5), K(2.16;2.88). Основание AM лежит на оси OY. Длина AM=8-4.5=3.5. Высота опущена из K на ось OY. Это абсцисса точки K: h₂=x_K=2.16. S_AMK=1/2·3.5·2.16=1.75·2.16. 1.75·2.16=7/4·54/25=7·27/2·25=189/50=3.78. Общая площадь S_ABKM=S_ABK+S_AMK=15.36+3.78=19.14 см².

Проверка.

Альтернативный способ: Вычтем из площади треугольника ABD площадь треугольника KMD. Площадь △ABD=1/2·AB·AD=1/2·6·8=24 см². Треугольник KMD имеет вершины K(2.16;2.88), M(0;4.5), D(0;0). Основание MD лежит на оси OY, длина MD=4.5. Высота из K на MD равна x_K=2.16. S_KMD=1/2·4.5·2.16=2.25·2.16=4.86 см². Тогда S_ABKM=S_ABD-S_KMD=24-4.86=19.14 см². Результаты совпадают.