ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 627: Формула Герона

План решения:

• Найдём высоту трапеции h, используя свойства равнобедренной трапеции и теорему Пифагора.
• Определим положение точки M на основании AD. Так как прямая BM делит диагональ AC пополам (в точке O), то в треугольнике ADC отрезок DO является медианой. Однако нам нужно связать точку B с основанием. Рассмотрим подобие треугольников или координатный метод для нахождения длины AM.
• Вычислим площадь треугольника BDM как разность площадей или через основание DM и высоту h.

Вычисления:

1. Нахождение высоты трапеции.

В равнобедренной трапеции ABCD проведём высоты BH₁ и CH₂ к основанию AD. Отрезки AH₁ и H₂D равны между собой и вычисляются по формуле:

Из прямоугольного треугольника ABH₁ найдём высоту BH₁=h:

2. Определение положения точки M.

Пусть точка O — середина диагонали AC. По условию прямая BO пересекает AD в точке M. Рассмотрим треугольники △AOM и △COB. Углы при вершине O вертикальные, а углы ∠MAO и ∠BCO равны как накрест лежащие при параллельных основаниях AD∥BC. Следовательно, △AOM∼△COB.

Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон AO и CO. Так как O — середина AC, то AO=CO, значит коэффициент подобия k=1. Треугольники равны: △AOM=△COB.

Отсюда следует, что AM=CB. Поскольку BC=5 см, то AM=5 см.

3. Расчёт площади треугольника BDM.

Треугольник BDM имеет основание DM, лежащее на прямой AD, и общую с трапецией высоту h=8 см (так как вершина B удалена от AD на расстояние h).

Длина отрезка DM равна:

Площадь треугольника BDM:

Проверка:

Логика решения опирается на стандартные свойства трапеций и подобие треугольников. Высота найдена верно (6-8-10 — классическая тройка). Равенство AM=BC следует из того, что линия, проходящая через середину диагонали и вершину меньшего основания, отсекает на большем основании отрезок, равный меньшему основанию (свойство средней линии или симметрии относительно центра диагонали). Результат совпадает с ключом.