ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 626: Формула Герона
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Татьяна Белова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD2+BC2=AB2+CD2.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Пусть диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. По условию задачи они взаимно перпендикулярны, то есть AC⊥BD. Это означает, что точка пересечения делит четырёхугольник на четыре прямоугольных треугольника: △AOB, △BOC, △COD и △DOA. В каждом из этих треугольников гипотенузой является сторона исходного четырёхугольника, а катетами — отрезки диагоналей. Для доказательства равенства сумм квадратов противоположных сторон применим теорему Пифагора к каждому из четырёх треугольников.
Вычисление.
Рассмотрим прямоугольные треугольники и запишем для них соотношения по теореме Пифагора:
- В △AOB: AB2=AO2+BO2;
- В △BOC: BC2=BO2+CO2;
- В △COD: CD2=CO2+DO2;
- В △DOA: AD2=DO2+AO2.
Нам нужно доказать, что AD2+BC2=AB2+CD2. Подставим выражения для квадратов сторон в левую часть этого равенства:
AD2+BC2=(DO2+AO2)+(BO2+CO2)Теперь подставим выражения для квадратов сторон в правую часть равенства:
AB2+CD2=(AO2+BO2)+(CO2+DO2)Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые в обоих выражениях. В левой части получаем сумму AO2+BO2+CO2+DO2. В правой части также получаем сумму AO2+BO2+CO2+DO2. Поскольку слагаемые идентичны, равенство верно.
Проверка.
Логика доказательства опирается исключительно на теорему Пифагора, которая справедлива для любого прямоугольного треугольника. Так как диагонали перпендикулярны, все четыре образованных треугольника гарантированно являются прямоугольными. Алгебраические преобразования (сложение и перегруппировка слагаемых) корректны. Таким образом, мы доказали, что сумма квадратов одной пары противоположных сторон равна сумме квадратов другой пары противоположных сторон при условии перпендикулярности диагоналей.
Доказано: AD2+BC2=AB2+CD2
Задача стандартная, решается через разложение на 4 прямоугольных треугольника и применение теоремы Пифагора.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 626 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 626?
Краткий ответ: Доказано: AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 62. Формула Герона.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.