ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 624: Формула Герона

Для решения задачи о площади равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями и заданной высотой h, воспользуемся свойством симметрии и геометрическими преобразованиями. План действий: выразить сумму оснований через высоту, используя прямоугольные треугольники, образованные диагоналями, а затем подставить в формулу площади трапеции.

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и BC. Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По условию AC⊥BD. Так как трапеция равнобедренная, то треугольник AOD (где AD — большее основание) является равнобедренным прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине O. Высота этого треугольника, опущенная из вершины O на основание AD, равна половине гипотенузы AD. Аналогично, треугольник BOC также равнобедренный прямоугольный, и его высота, опущенная на основание BC, равна половине BC.

Полная высота трапеции h складывается из высот этих двух треугольников: h=AD/2+BC/2=AD+BC/2 Отсюда следует, что сумма оснований равна удвоенной высоте: AD+BC=2h Теперь найдем площадь трапеции по стандартной формуле: S=AD+BC/2·h Подставим полученное выражение для суммы оснований: S=2h/2·h=h·h=h²

Проверка результата логически подтверждается тем, что у любой равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями средняя линия равна её высоте. Поскольку площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту, получаем S=h·h=h². Ответ совпадает с ожидаемым значением.