ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 623: Формула Герона

Для решения задачи на нахождение площади равнобедренной трапеции воспользуемся стандартной формулой S=a+b/2·h, где a и b — основания, а h — высота. Нам необходимо найти недостающие элементы (второе основание или высоту) через свойства углов и диагоналей.

Пункт а)

Дано: меньшее основание a=18 см, высота h=9 см, острый угол при основании β=45^°. Так как трапеция равнобедренная, то опустив высоты из вершин меньшего основания на большее, мы получим два прямоугольных треугольника по краям и прямоугольник в центре. Катеты этих треугольников равны высоте трапеции (9 см). Поскольку один из острых углов равен 45^°, то второй острый угол также равен 45^° (90^°-45^°=45^°). Значит, эти треугольники являются равнобедренными, и их горизонтальные катеты равны вертикальным, то есть равны 9 см.

Найдем большое основание b. Оно состоит из отрезка, равного меньшему основанию (18 см), и двух отрезков по краям (по 9 см каждый): b=a+2x=18+2·9=18+18=36 см

Теперь вычислим площадь: S=18+36/2·9=54/2·9=27·9=243 см²

Пункт б)

Дано: основания a=16 см, b=30 см, диагонали взаимно перпендикулярны. Для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями существует важное свойство: высота такой трапеции равна полусумме её оснований. Докажем это кратко. Если провести прямую через одну из вершин верхнего основания параллельно диагонали до пересечения с продолжением нижнего основания, образуется равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна сумме оснований a+b, а высота к гипотенузе (которая равна высоте трапеции h) является медианой и равна половине гипотенузы. h=a+b/2=16+30/2=46/2=23 см

Вычислим площадь трапеции, используя найденную высоту: S=a+b/2·h=23·23=529 см² (Заметим, что для таких трапеций площадь также можно найти просто как квадрат полусуммы оснований).