ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 619: Формула Герона

Для решения задачи сначала приведем все данные к одной единице измерения. Площадь ромба дана в квадратных сантиметрах (S=540 см²), а диагональ — в дециметрах. Переведем длину диагонали в сантиметры: d₁=4,5 дм =45 см.

Вспомним формулу площади ромба через его диагонали: S=1/2d₁d₂ Подставим известные значения и найдем вторую диагональ d₂: 540=1/2·45·d₂ 540=22,5·d₂ d₂=540/22,5=24 см

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Катеты этого треугольника равны: a=d₁/2=45/2=22,5 см , b=d₂/2=24/2=12 см По теореме Пифагора найдем гипотенузу, которая является стороной ромба c: c=a²+b²=22,5²+12²=506,25+144=650,25 Чтобы избежать работы с десятичными дробями внутри корня, представим числа как обыкновенные дроби: 22,5=45/2, 12=24/2. Тогда: c=(45/2)²+(24/2)²=2025+576/4=2601/4=51/2=25,5 см

Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба — это высота h, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу в рассмотренном выше прямоугольном треугольнике со сторонами a, b и c. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами: через катеты и через гипотенузу с высотой. Приравняем выражения для площади: S_△=1/2ab=1/2ch Отсюда выразим высоту h: h=ab/c Подставим найденные значения (удобнее использовать дроби): h=45/2·12/51/2=45·6/51/2=270/51/2=270·2/51=540/51 Сократим дробь на 3: h=180/17 Выделим целую часть: 180:17=10(остаток 10) Таким образом, расстояние равно 1010/17 см.