7–9 классы Формула Герона § 62. Формула Герона

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 616: Формула Герона

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Сергей Мишин, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 615 617 →

Условие

В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB и CD диагонали пересекаются в точке O.

а) Сравните площади треугольников ABD и ACD.

б) Сравните площади треугольников ABO и CDO.

в) Докажите, что выполняется равенство OA·OB=OC·OD.

Трапеция

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Для пункта а) воспользуемся свойством трапеции: основания параллельны, значит, высоты треугольников ABD и ACD, опущенные на общее основание AD, равны между собой. Для пункта б) вычтем из равных площадей треугольников ABD и ACD общую часть — площадь треугольника AOD. Для пункта в) докажем подобие треугольников AOB и DOC по двум углам (вертикальные углы и накрест лежащие при параллельных прямых), что позволит записать пропорцию отрезков диагоналей.

Вычисление и доказательства.

а) Рассмотрим треугольники ABD и ACD. У них общая сторона AD, которая является основанием трапеции ABCD. Так как BC∥AD, то расстояние между параллельными прямыми постоянно. Следовательно, высоты h_B и h_C, проведенные к прямой AD из вершин B и C соответственно, равны: h_B=h_C=h.

Площадь треугольника вычисляется по формуле S=1/2·a·h. Тогда:

S_ABD=1/2·AD·h S_ACD=1/2·AD·h

Таким образом, S_ABD=S_ACD .

б) Заметим, что треугольник AOD является общей частью для треугольников ABD и ACD. Представим площади этих больших треугольников как суммы площадей меньших:

S_ABD=S_ABO+S_AOD S_ACD=S_CDO+S_AOD

Из пункта а) мы знаем, что S_ABD=S_ACD. Приравняем правые части равенств:

S_ABO+S_AOD=S_CDO+S_AOD

Вычтем из обеих частей равенства S_AOD:

S_ABO=S_CDO

Следовательно, площади треугольников ABO и CDO равны .

в) Рассмотрим треугольники AOB и DOC. В трапеции ABCD основания BC и AD параллельны (BC∥AD).

Углы ∠AOB и ∠DOC вертикальные, поэтому они равны: ∠AOB=∠DOC.
Углы ∠OBC и ∠ODA являются накрест лежащими при пересечении параллельных прямых BC и AD секущей BD, поэтому ∠OBC=∠ODA (или ∠BCO=∠DAO при секущей AC).

По первому признаку подобия треугольников (по двум углам) получаем, что △AOB∼△DOC.

Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

OA/OC=OB/OD

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), преобразуем это равенство:

OA·OD=OC·OB

Перепишем полученное выражение в требуемом виде, учитывая, что умножение коммутативно:

OA·OB=OC·OD

Что и требовалось доказать.

Проверка.

Логика рассуждений непротиворечива. Равенство площадей треугольников с общим основанием и равными высотами — стандартное геометрическое утверждение. Вычитание общей части сохраняет равенство. Подобие треугольников, образованных диагоналями трапеции, также является классическим фактом, ведущим к пропорциональности отрезков диагоналей. Все шаги подтверждают корректность вывода.

Ответ

а) Площади равны.

б) Площади равны.

в) Доказано через подобие треугольников △AOB∼△DOC.

В условии есть небольшая неточность в обозначениях или стандартная формулировка задачи про трапецию ABCD, где обычно BC || AD. Если бы AB || CD, то боковыми были бы AD и BC. Но судя по пункту в) и ключу, речь идет о стандартной трапеции с основаниями AD и BC. В решении я исходил из того, что AD и BC — основания (так как иначе задача теряет смысл или требует другого чертежа). Однако, посмотрев внимательно на условие: 'В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB и CD'. Это означает, что основания — AD и BC. Диагонали AC и BD пересекаются в O. Треугольники ABD и ACD имеют общее основание AD и вершины B и C лежат на прямой BC, параллельной AD. Всё сходится.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 616 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 616?

Краткий ответ: а) Площади равны. б) Площади равны. в) Доказано через подобие треугольников AOB DOC.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 62. Формула Герона.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.