ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 613: Формула Герона
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Сергей Мишин, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства того, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон является величиной постоянной, воспользуемся методом площадей. Обозначим вершины треугольника как A, B и C, где AC=BC — боковые стороны, а AB — основание. Пусть точка M лежит на основании AB. Расстояния от точки M до боковых сторон AC и BC обозначим через h1 и h2 соответственно. Нам нужно доказать, что сумма h1+h2 не зависит от положения точки M.
Вычисление и доказательство.
Проведём вспомогательный отрезок CM, соединяющий точку M с противоположной вершиной C. Этот отрезок разбивает исходный треугольник ABC на два меньших треугольника: △AMC и △BMC. Запишем площади этих треугольников двумя способами: 1. Площадь всего треугольника ABC можно выразить через его боковую сторону a (так как AC=BC=a) и высоту H, опущенную из вершины C на продолжение или саму боковую сторону? Нет, удобнее использовать формулу площади через основание и высоту к боковой стороне. Но так как мы рассматриваем произвольную точку M, лучше выразить площадь через части. Рассмотрим площадь △AMC. Его основанием можно считать сторону AC, тогда высотой будет перпендикуляр из точки M на AC, то есть h1. Следовательно: SAMC=1/2·AC·h1=1/2ah1 Аналогично для △BMC. Основанием считаем сторону BC, высотой служит перпендикуляр из M на BC, то есть h2. Так как BC=AC=a, получаем: SBMC=1/2·BC·h2=1/2ah2 Сумма площадей этих двух треугольников равна площади всего треугольника ABC: SABC=SAMC+SBMC=1/2ah1+1/2ah2=1/2a(h1+h2) Отсюда выразим сумму расстояний: h1+h2=2SABC/a В полученном выражении SABC — площадь фиксированного треугольника, а a — длина его боковой стороны. Эти величины являются константами и не зависят от выбора точки M на основании.
Проверка и вывод.
Так как правая часть равенства 2SABC/a состоит только из постоянных характеристик данного треугольника, левая часть h1+h2 также должна быть постоянной. Это означает, что при любом перемещении точки M вдоль основания AB сумма её расстояний до боковых сторон остаётся неизменной. Утверждение доказано.
Доказано методом площадей: SABC=1/2a(h1+h2), откуда h1+h2=2SABC/a=const.
Использован метод вспомогательной площади, предложенный в указании. Треугольник разбит на два, их площади выражены через боковую сторону и искомые высоты. Сумма площадей равна общей площади, которая постоянна.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 613 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 613?
Краткий ответ: Доказано методом площадей: S_ABC = 12a(h_1+h_2), откуда h_1+h_2 = 2S_ABCa = const.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 62. Формула Герона.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.