ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 615: Формула Герона

План решения.

Для доказательства равенства площадей треугольников CDE и BDF воспользуемся свойством параллелограмма. Поскольку через точку D проведены прямые, параллельные сторонам AB и AC, четырёхугольник AEDF является параллелограммом. Диагональ этого параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника. Нам нужно связать площади искомых треугольников с площадью диагонали или частей параллелограмма.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим параллелограмм AEDF. Его стороны AE'DF и AF'ED по условию задачи (так как DE'AC и DF'AB).

Проведём диагональ AD в параллелограмме AEDF. Эта диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника: △ADE и △ADF. Следовательно, их площади равны:

Теперь рассмотрим треугольники, которые нам даны в условии: △CDE и △BDF.

Заметим, что треугольник CDE имеет основание CE? Нет, удобнее рассмотреть основания на стороне BC или использовать свойства параллельности. Давайте посмотрим на треугольники △ADC и △ABD.

Более простой путь, предложенный в указании: сравним площади треугольников CDE и BDF с площадью параллелограмма AEDF.

Рассмотрим треугольник ADC. Он состоит из двух частей: △ADE и △CDE? Нет, точка E лежит на AB, а не внутри ADC. Посмотрим внимательнее на чертеж.

Треугольник ABC разделен на три части: △EBD, △FDC и параллелограмм AEDF? Нет, это неверно. Точки E и F лежат на сторонах AB и AC. Прямые DE'AC и DF'AB. Значит, AEDF — параллелограмм.

Рассмотрим площадь треугольника ADC. Основание AC, высота из D к AC. Но проще использовать метод вычитания или сравнения с общими частями.

Давайте докажем, что S_△CDE=1/2S_AEDF и S_△BDF=1/2S_AEDF.

1. Рассмотрим треугольник ADE и треугольник CDE. Они имеют общую вершину D и основания AE и EC? Нет, основания на разных прямых.

Воспользуемся следующим фактом: площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Пусть h₁ — расстояние между параллельными прямыми AB и DF (это высота параллелограмма AEDF при основании AE). Тогда S_AEDF=AE'h₁.

Рассмотрим △BDF. Его основание можно принять за BF? Нет, удобнее за BD? Тоже сложно.

Вернемся к указанию: «доказать, что площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма AEDF».

Рассмотрим △CDE. Сторона DE параллельна AC. Треугольник CDE и параллелограмм AEDF имеют общую сторону DE? Да. Высота параллелограмма AEDF относительно основания DE равна расстоянию между параллельными прямыми DE и AF (то есть AC). Пусть эта высота равна H. Тогда S_AEDF=DE'H.

Площадь треугольника CDE: основание DE, высота опущена из вершины C на прямую DE. Так как C лежит на прямой AC, которая параллельна DE, то расстояние от любой точки прямой AC до прямой DE постоянно и равно высоте параллелограмма H. Следовательно, высота △CDE равна H.

Таким образом, S_△CDE=1/2'DE'H=1/2S_AEDF.

Аналогично для △BDF. Сторона DF параллельна AB. Параллелограмм AEDF имеет сторону DF. Высота параллелограмма относительно основания DF равна расстоянию между прямыми DF и AE (то есть AB). Обозначим эту высоту h. Тогда S_AEDF=DF'h.

Площадь треугольника BDF: основание DF, высота опущена из вершины B на прямую DF. Вершина B лежит на прямой AB, которая параллельна DF. Значит, расстояние от B до прямой DF равно высоте параллелограмма h.

Следовательно, S_△BDF=1/2'DF'h=1/2S_AEDF.

Проверка и вывод.

Мы получили, что:

• S_△CDE=1/2S_AEDF;
• S_△BDF=1/2S_AEDF.

Отсюда следует, что S_△CDE=S_△BDF. Треугольники равновеликие, что и требовалось доказать.