ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 617: Формула Герона

План решения.

Обозначим искомую длину отрезка через x. Этот отрезок параллелен основаниям трапеции и делит её на две новые трапеции. Первая (верхняя) имеет основания a и x, вторая (нижняя) — основания x и b. Поскольку высота всей трапеции разбивается этим отрезком на две части, обозначим высоты верхней и нижней трапеций как h₁ и h₂ соответственно. По условию задачи площади этих двух трапеций равны между собой. Нам нужно выразить x через a и b, используя формулу площади трапеции и подобие треугольников или свойства пропорциональности отрезков.

Вычисление.

Запишем формулы площадей для двух полученных трапеций:

По условию S_верх =S_низ, следовательно:

Теперь воспользуемся свойством параллельных прямых. Если продолжить боковые стороны трапеции до пересечения в точке O, то получим три подобных треугольника с основаниями a, x и b. Пусть высота большого треугольника с основанием b равна H. Тогда высоты треугольников с основаниями x и a будут равны H-h₂ и H-h₂-h₁ соответственно. Однако проще использовать известное свойство: отношение высот, на которые параллельный отрезок делит высоту трапеции, связано с длинами оснований. Для произвольного параллельного отрезка x справедливо соотношение линейной интерполяции, но здесь мы имеем дело с площадями. Рассмотрим другой подход, более алгебраический и строгий для школьной программы 8-9 классов. Введем переменную k — коэффициент подобия или долю высоты. Но есть стандартный вывод для этой задачи. Из равенства площадей следует, что средняя линия каждой из новых трапеций (a+x/2 и x+b/2) обратно пропорциональна их высотам (h₁ и h₂). Также известно, что если отрезок x параллелен основаниям, то он связан с a и b линейно по высоте? Нет, это верно только для медианы трапеции. Давайте используем факт, что x является средним квадратичным оснований a и b при условии равновеликости частей. Выведем это строго. Пусть высота всей трапеции равна H. Тогда h₁+h₂=H. Из подобия треугольников, образованных продолжением боковых сторон, можно показать, что длина отрезка x, находящегося на расстоянии y от основания a (где y измеряется вдоль высоты), определяется формулой: x=a+b-a/Hy Здесь y=h₁. Подставим это выражение для x в уравнение равенства площадей. Но есть более простой путь через интегралы или аналогию с площадью. Площадь трапеции S=a+b/2H. Площадь верхней части S₁=a+x/2h₁. Площадь нижней части S₂=x+b/2h₂. S₁=S₂=S/2. Отсюда h₁=S/a+x и h₂=S/x+b. Сумма высот H=h₁+h₂=S(1/a+x+1/x+b). Подставим S=a+b/2H: H=a+b/2H(1/a+x+1/x+b) Сократим H (так как H≠0): 1=a+b/2(x+b+a+x/(a+x)(x+b)) 1=a+b/2·a+b+2x/(a+x)(x+b) 2(a+x)(x+b)=(a+b)(a+b+2x) Раскроем скобки: Левая часть: 2(ax+ab+x²+xb)=2x²+2x(a+b)+2ab. Правая часть: (a+b)²+2x(a+b)=a²+2ab+b²+2x(a+b). Приравниваем: 2x²+2x(a+b)+2ab=a²+2ab+b²+2x(a+b) Вычитаем 2x(a+b)+2ab из обеих частей: 2x²=a²+b² x²=a²+b²/2 x=a²+b²/2

Проверка.

Если a=b (трапеция превращается в прямоугольник), то формула дает x=a²+a²/2=a²=a. Это верно, так как отрезок, делящий прямоугольник на два равновеликих прямоугольника, должен быть равен стороне. Если b=0 (трапеция превращается в треугольник с основанием a), то x=a²/2=a/2. Известно, что отрезок, параллельный основанию треугольника и делящий его площадь пополам, равен основанию, умноженному на 1/2. Результат совпадает с известным фактом геометрии.