ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 614: Формула Герона
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Дмитрий Орлов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Чтобы доказать независимость суммы расстояний от положения точки внутри равностороннего треугольника, воспользуемся методом площадей. Обозначим сторону треугольника через a, а произвольную точку внутри него — через M. Расстояния от точки M до трёх сторон обозначим как h1, h2 и h3. Нам нужно показать, что сумма S=h1+h2+h3 является константой.
Вычисление.
Проведём из вершин треугольника отрезки к точке M. Треугольник разбивается на три меньших треугольника с основаниями, равными сторонам исходного треугольника (a), и высотами, равными расстояниям от точки M до этих сторон (h1,h2,h3).
Площадь всего равностороннего треугольника можно выразить двумя способами:
- Через формулу площади правильного треугольника со стороной a: SABC=3/4a2
- Как сумму площадей трёх полученных треугольников: SABC=S1+S2+S3=1/2ah1+1/2ah2+1/2ah3
Приравняем эти выражения:
3/4a2=1/2a(h1+h2+h3)Разделим обе части уравнения на 1/2a (так как a>0):
3/2a=h1+h2+h3Таким образом, сумма расстояний равна 3/2a. Это значение совпадает с высотой равностороннего треугольника.
Проверка и вывод.
В полученной формуле h1+h2+h3=3/2a правая часть зависит только от длины стороны треугольника a, которая является фиксированной величиной для данного треугольника. Переменные h1,h2,h3 в левой части могут меняться при перемещении точки M, но их сумма всегда остаётся неизменной и равной высоте треугольника.
Следовательно, утверждение доказано: сумма расстояний от любой внутренней точки до сторон равностороннего треугольника не зависит от положения этой точки.
Доказательство:
Пусть a — сторона равностороннего треугольника, h1,h2,h3 — расстояния от внутренней точки до его сторон.
Площадь треугольника S=3/4a2.
Также S=1/2a(h1+h2+h3).
Отсюда h1+h2+h3=3/2a (высота треугольника).
Сумма постоянна.
Задача классическая (теорема Вивиани). Решение строится на разбиении площади треугольника на три части. Ключевое наблюдение: сумма расстояний равна высоте равностороннего треугольника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 614 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 614?
Краткий ответ: Доказательство: Пусть a — сторона равностороннего треугольника, h_1, h_2, h_3 — расстояния от внутренней точки до его сторон. Площадь треугольника S = √34a^2. Также S = 12a(h_1+h_2+h_3). Отсюда h_1+h_2+h_3 = √32a (высота треугольника). Сумма постоянна.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 62. Формула Герона.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.