ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 610: Формула Герона
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Павел Лебедев, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна a, а другая — b, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Чтобы доказать утверждение, выразим площадь треугольника через две заданные стороны a и b и угол между ними. Обозначим этот угол как α. Формула площади треугольника через две стороны и синус угла между ними имеет вид: S=1/2absinα
Нам нужно найти такое значение α, при котором площадь S будет максимальной. Поскольку длины сторон a и b фиксированы (это константы), величина площади зависит только от значения sinα.
Вычисление и обоснование.
Рассмотрим поведение функции синуса. Для любого угла α в треугольнике (0°<α<180°) выполняется неравенство: -1≤sinα≤1 Так как угол в треугольнике не может быть отрицательным или равным нулю/180 градусам (иначе треугольник вырождается), то sinα>0. Максимальное возможное значение синуса равно 1.
Синус достигает своего максимума (sinα=1) тогда и только тогда, когда угол α равен 90°. Это означает, что стороны a и b перпендикулярны друг другу.
Подставив максимальное значение синуса в формулу площади, получаем наибольшую площадь: Smax=1/2ab·1=1/2ab
Для любого другого угла α≠90° имеем sinα<1, следовательно, площадь будет меньше: S=1/2absinα<1/2ab
Проверка и геометрическая интерпретация.
Можно также рассмотреть задачу с точки зрения высоты. Пусть сторона a лежит на основании. Тогда высота h, опущенная на эту сторону из вершины, противолежащей основанию, связана со стороной b соотношением h=bsinα. Площадь равна S=1/2ah.
Из всех отрезков, соединяющих точку с прямой, наименьшим является перпендикуляр, а длина наклонной всегда больше длины проекции. Однако здесь мы фиксируем длину наклонной b. Высота h — это катет прямоугольного треугольника, где гипотенуза равна b. Катет всегда меньше или равен гипотенузе (h≤b). Равенство h=b достигается только тогда, когда наклонная становится перпендикуляром к основанию, то есть когда угол между a и b равен 90°. Таким образом, максимальная высота соответствует максимальному произведению 1/2ah, что подтверждает вывод о том, что наибольшую площадь имеет прямоугольный треугольник с катетами a и b.
Доказано: площадь S=1/2absinα максимальна при sinα=1, то есть при α=90°.
Использована стандартная тригонометрическая формула площади. Указание из ключа про 'перпендикуляр меньший наклонной' переформулировано через сравнение высоты и боковой стороны (катет и гипотенуза), что логически эквивалентно и более строго для доказательства максимума.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 610 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 610?
Краткий ответ: Доказано: площадь S= 12ab максимальна при =1, то есть при =90^.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 62. Формула Герона.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.