ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 609: Формула Герона

Для решения задачи воспользуемся свойствами параллелограмма и теоремой Пифагора. Обозначим точку пересечения диагоналей как O, а основание перпендикуляра, опущенного из O на большую сторону, как H. По условию, отрезки на большей стороне равны AH=33 см и HB=12 см (или наоборот, порядок не важен для длины стороны). Тогда длина большей стороны параллелограмма равна сумме этих отрезков: AB=33+12=45 см .

Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то точка O является серединой каждой диагонали. Рассмотрим треугольник, образованный половиной диагонали, высотой OH и отрезком основания. Однако более простой путь — использовать свойство средней линии или координатный метод. Заметим, что высота параллелограмма h вдвое больше высоты OH, так как O лежит в центре симметрии. Но нам нужно найти саму высоту OH или площадь через неё.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной меньшей стороны? Нет, это неверно. Давайте найдем длину половины диагонали или используем другой подход. Пусть AD=BC=29 см (меньшая сторона). Проведем высоту DK из вершины D на прямую AB. Тогда OK — средняя линия трапеции? Нет. Воспользуемся тем, что проекция диагонали на сторону связана с отрезками. Более надежный способ: Найдем высоту OH. В △AOB медиана OM к стороне AB не является высотой. Давайте применим формулу для площади через диагонали или просто найдем высоту параллелограмма. Пусть M — середина AB. Тогда AM=MB=22.5 см. Точка H делит AB на 33 и 12. Расстояние от середины M до точки H: MH=|33-22.5|=10.5 см. В прямоугольном △OHB? Нет, мы не знаем углы. Вернемся к определению. O — центр параллелограмма. Высота параллелограмма h_par равна 2×OH. Нам нужно найти OH. Для этого рассмотрим △ABD. Медиана AO... нет. Рассмотрим △ABC. BO — половина диагонали BD. CO — половина AC. Используем свойство: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. Но проще всего рассмотреть прямоугольный треугольник, который образуется при проведении высоты из вершины параллелограмма. Пусть высота параллелограмма равна h. Тогда S=AB×h=45h. Также S=AD×h_AD. Давайте найдем OH через теорему Пифагора в треугольнике, образованном половиной диагонали. Это сложно без знания диагоналей. Альтернативное решение: Проведем высоту DE из вершины D на сторону AB. Тогда AE — проекция стороны AD на AB. Известно, что расстояние от центра O до стороны AB равно половине высоты DE. То есть OH=1/2DE. Как найти DE? Рассмотрим △ADE. Это прямоугольный треугольник с гипотенузой AD=29. Катет DE неизвестен, катет AE неизвестен. Однако мы знаем, что H — проекция центра O на AB. Координата H относительно A равна 33 (если считать AH=33). Координата проекции вершины D на AB (точка E) связана с H. Так как O — середина BD, то проекция O на AB (точка H) является серединой отрезка между проекцией B (сама точка B) и проекцией D (точка E)? Нет, проекция середины отрезка есть середина проекций концов отрезка. Проекция точки B на прямую AB — это сама точка B. Проекция точки D на прямую AB — это точка E. Следовательно, H — середина отрезка EB.