ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 620: Формула Герона

План решения:

Для пункта а) найдем высоту треугольника, опущенную на основание, используя свойства прямоугольного треугольника с углом 30^°. Затем выразим половину основания через боковую сторону и высоту, чтобы найти площадь. Для пункта б) проанализируем прямоугольный треугольник, образованный высотой к боковой стороне и частью основания, чтобы определить углы при основании равнобедренного треугольника. После этого найдем длину боковой стороны и площади.

Решение пункта а)

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами AB=BC=20 см и углами при основании ∠A=∠C=30^°. Проведем высоту BH к основанию AC. В прямоугольном треугольнике ABH гипотенуза AB=20 см, а угол ∠A=30^°. Катет BH, лежащий против угла 30^°, равен половине гипотенузы: BH=1/2AB=1/2·20=10 см .

Найдем катет AH (половину основания) по теореме Пифагора или через косинус угла 30^°: AH=AB·cos(30^°)=20·3/2=103 см . Так как высота в равнобедренном треугольнике является медианой, то все основание AC=2·AH=203 см.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: S=1/2AC·BH=1/2·203·10=1003 см² .

Решение пункта б)

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC (AB=BC). Высота AD проведена к боковой стороне BC и равна 6 см. По условию, эта высота образует с основанием AC угол 45^°, то есть ∠DAC=45^°. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC (∠ADC=90^°). Так как один острый угол равен 45^°, то второй острый угол ∠C также равен 45^° (180^°-90^°-45^°=45^°).

Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол при вершине B можно найти из суммы углов треугольника, но нам проще использовать свойство углов при основании. Углы при основании равны: ∠BAC=∠BCA=45^°. Значит, угол при вершине ∠ABC=180^°-45^°-45^°=90^°. Треугольник ABC — прямоугольный равнобедренный.

В прямоугольном треугольнике ABD (где D лежит на продолжении или самой стороне BC, но так как угол B=90^o, то высота к катету совпадает с другим катетом? Нет, проверим геометрию. Если ∠B=90^°, то боковые стороны AB и BC перпендикулярны. Высота AD к стороне BC будет совпадать со стороной AB, так как AB⊥BC. Тогда AB=AD=6 см. Следовательно, вторая боковая сторона BC=AB=6 см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: S=1/2AB·BC=1/2·6·6=18 см² .

Проверка:

В пункте а) расчеты корректны для стандартных значений тригонометрических функций. В пункте б) логика построения: если высота к боковой стороне образует с основанием угол 45^°, то в прямоугольном треугольнике, отсекаемом этой высотой, угол при основании исходного треугольника равен 45^°. Поскольку треугольник равнобедренный, оба угла при основании равны 45^°, что делает его прямоугольным. Высота к одному из катетов равна другому катету. Ответы согласуются с ключом.