ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 621: Формула Герона
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Илья Морозов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
В треугольнике ABC BC=34 см. Перпендикуляр MN, проведённый из середины BC к прямой AC, делит сторону AC на отрезки AN=25 см и NC=15 см. Найдите площадь треугольника ABC.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся свойством перпендикуляра к стороне треугольника. Поскольку MN — перпендикуляр, проведённый из середины стороны BC, то есть M является серединой BC, а MN⊥AC, можно сделать важный вывод о геометрии треугольника.
Рассмотрим треугольник ABC. Точка M лежит на стороне BC так, что BM=MC=34/2=17 см. Отрезок MN перпендикулярен стороне AC. Это означает, что в прямоугольном треугольнике MNC (где угол N прямой) гипотенуза равна MC=17 см, а один из катетов равен NC=15 см.
Найдём длину второго катета MN по теореме Пифагора: MN=MC2-NC2=172-152 Вычислим значения квадратов: 172=289, 152=225. MN=289-225=64=8 см Таким образом, высота треугольника ABC, опущенная на сторону AC из точки B или связанная с ней через подобие/среднюю линию, требует более внимательного анализа. Однако, заметим, что MN не является высотой всего треугольника ABC к основанию AC, если только вершина A не совпадает с проекцией... Подождите. В условии сказано, что MN делит AC на отрезки AN=25 и NC=15. Значит, длина всей стороны AC=AN+NC=25+15=40 см.
Теперь нужно найти площадь треугольника ABC. Площадь вычисляется как половина произведения основания на высоту. Если мы возьмем за основание сторону AC, то нам нужна высота, опущенная из вершины B на прямую AC. Обозначим эту высоту как hB. Заметим, что точка M — середина BC. Расстояние от точки M до прямой AC равно длине перпендикуляра MN=8 см. Так как M — середина отрезка BC, то расстояние от конца отрезка (B) до прямой (AC) относится к расстоянию от середины отрезка (M) до той же прямой как 2:1 (по свойствам средних линий или подобия прямоугольных треугольников, образованных высотами). Следовательно, высота hB, опущенная из вершины B на сторону AC, в два раза больше длины MN: hB=2·MN=2·8=16 см
Теперь можем найти площадь треугольника ABC: SABC=1/2·AC·hB Подставим найденные значения: AC=40 см, hB=16 см. SABC=1/2·40·16=20·16=320 см²
320 см²
Использовано свойство средней линии/подобия для нахождения высоты из вершины B. Сначала найдена высота MN из середины BC к AC через теорему Пифагора в треугольнике MNC. Затем учтено, что высота из вершины B вдвое больше расстояния от середины противоположной стороны до основания.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 621 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 621?
Краткий ответ: 320 см².
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 62. Формула Герона.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.