ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 628: Формула Герона

План решения.

Рассмотрим два квадрата со стороной a, имеющие общую вершину. Пусть первый квадрат ABCD расположен так, что его сторона AD лежит на диагонали второго квадрата AB₁C₁D₁. Нам нужно найти площадь их пересечения (общей части).

Геометрический анализ и вычисление.

Обозначим общий угол как точку A. В первом квадрате ABCD угол при вершине A равен 90^°. Диагональ первого квадрата проходит под углом 45^° к его сторонам. По условию, сторона второго квадрата лежит на этой диагонали. Значит, одна из сторон второго квадрата совпадает по направлению с диагональю первого.

Так как второй квадрат также имеет прямой угол при вершине A, то его вторая сторона будет расположена под углом 90^° к первой. Следовательно, стороны второго квадрата образуют с сторонами первого квадрата углы 45^° и 45^° (или симметрично). Общая часть двух квадратов представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник или четырехугольник? Давайте разберем точнее.

Пусть первый квадрат имеет координаты вершин: A(0,0), B(a,0), C(a,a), D(0,a). Его диагональ AC задается уравнением y=x. По условию, сторона второго квадрата лежит на диагонали другого. Допустим, сторона второго квадрата лежит на диагонали первого. Тогда один луч угла второго квадрата идет вдоль y=x. Второй луч перпендикулярен ему, значит, он идет вдоль прямой y=-x (внешний угол) или мы рассматриваем внутреннюю область. Но квадраты имеют общую вершину и лежат в одной полуплоскости относительно общих осей обычно в таких задачах подразумевается наложение фигур.

Более простой подход через площади. Общая часть — это многоугольник, ограниченный сторонами обоих квадратов. Поскольку сторона одного квадрата лежит на диагонали другого, угол между сторонами квадратов составляет 45^°. Пересечение двух равных квадратов, повернутых друг относительно друга на 45^° вокруг общей вершины, где одна сторона совпадает с диагональю другой, формирует фигуру, которую можно вычислить как разность площадей или сумму частей.

Давайте построим схему. Квадрат 1: ABCD. Квадрат 2: AEFG. Сторона AE лежит на диагонали AC квадрата 1. Так как AC — диагональ, длина AC=a2. Сторона квадрата AE=a. Значит, точка E лежит внутри отрезка AC, так как a<a2. Угол DAE=45^°. Угол квадрата GAE=90^°. Значит, сторона AG образует угол 45^° со стороной AD (так как 90-45=45). То есть сторона AG совпадает с направлением диагонали BD? Нет, AG перпендикулярна AE. Если AE вдоль y=x, то AG вдоль y=-x или x+y=const. Но мы находимся в первом квадранте для квадрата ABCD. Стороны квадрата ABCD лежат на осях X и Y. Диагональ AC: y=x. Сторона AE лежит на AC. Значит, вектор AE направлен как (1,1). Вектор AG перпендикулярен AE. Возможные направления: (-1,1) или (1,-1). Чтобы квадрат AEFG пересекался с ABCD, его внутренние точки должны иметь положительные координаты. Направление (-1,1) уходит во вторую четверть (относительно центра A), но если мы считаем от вершины A, то сторона AD лежит на оси Y, AB на оси X. Диагональ AC делит угол DAB пополам. Сторона AE лежит на AC. Сторона AG перпендикулярна AE. Значит, AG лежит на прямой, образующей угол 135^° с осью X (или 45^° с осью Y в другую сторону). Это выходит за пределы квадрата ABCD? Нет, давайте посмотрим на пересечение.

Фигура пересечения ограничена:

• Стороной AD (ось Y) или частью её?
• Стороной AB (ось X)?
• Стороной EF квадрата 2?
• Стороной FG квадрата 2?

На самом деле, общая часть является равнобедренным прямоугольным треугольником с гипотенузой, лежащей на стороне квадрата? Или четырехугольником?

Рассмотрим случай, когда сторона одного квадрата лежит на диагонали другого. Пусть квадрат Q₁ имеет вершины (0,0),(a,0),(a,a),(0,a). Диагональ из (0,0) до (a,a). Квадрат Q₂ имеет вершину (0,0), сторона длиной a лежит на диагонали Q₁. Значит, следующая вершина Q₂ находится в точке (a/2,a/2). Вторая сторона Q₂ перпендикулярна первой. Она может идти в направлении (-a/2,a/2) или (a/2,-a/2). Оба варианта симметричны относительно диагонали. Возьмем направление (-1,1). Тогда третья вершина Q₂ будет в (0,a2). Четвертая в (a/2,a/2+a/2)=(a/2,a2)? Нет, проверка векторов. Вектор u=(1,1)/2·a. Вершина P₁=(a/2,a/2). Вектор v перпендикулярен u. v=(-1,1)/2·a. Вершина P₂=P₁+v=(0,a2). Вершина P₃=v=(-a/2,a/2). Эта точка имеет отрицательную x-координату, значит, она вне квадрата Q₁ (x≥0). Значит, пересечение ограничено осью Y (x=0), осью X (y=0)? Нет, квадрат Q₂ целиком лежит в области y>0 и частично x<0. Часть с x<0 не входит в Q₁. Пересечение Q₁ и Q₂: Границы Q₁: x=0,y=0,x=a,y=a. Границы Q₂: линии, проходящие через (0,0) с наклонами 1 и -1 (если развернуть систему координат). В стандартных координатах стороны Q₂ лежат на прямых y=x и y=-x+a2? Нет. Сторона OP₁ лежит на y=x. Сторона OP₃ лежит на y=-x. Но P₃ имеет x<0. Значит, в области x>0 (где находится Q₁) у нас есть только часть угла Q₂, ограниченная лучом y=x (x>0) и... какой другой границей? Угол Q₂ при вершине O равен 90^°. Он заключен между лучами y=x (x>0) и y=-x (x<0). Внутри квадрата Q₁ (x>0,y>0) попадает только сектор между y=x и осью Y? Нет, ось Y это x=0. Луч y=-x при x>0 дает y<0, чего нет в Q₁. Значит, весь квадрат Q₂ лежит выше прямой y=-x и ниже/выше других границ. Давайте проще. Площадь пересечения двух квадратов со стороной a, один из которых повернут на 45^° относительно другого вокруг общей вершины, причем одна сторона совпадает с диагональю. Это классическая задача. Общая часть представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными половине диагонали? Нет. Рассмотрим треугольник, образованный вершиной A, точкой пересечения стороны BC квадрата 1 со стороной EF квадрата 2 и т.д. Легче всего использовать формулу для площади пересечения. Если сторона одного квадрата лежит на диагонали другого, то угол между сторонами квадратов равен 45^°. Площадь общей части равна S=a²/2·tan(45^°/2)? Нет. Давайте посчитаем координатами точно. Q₁: 0≤x≤a,0≤y≤a. Q₂: Поворот на 45^°. Матрица поворота R. Точки Q₂: (0,0),(a,0)→(a/2,a/2),(a,a)→(0,a2),(0,a)→(-a/2,a/2). Вершины Q₂: O(0,0),E(a/2,a/2),F(0,a2),G(-a/2,a/2). Нам нужна площадь пересечения Q₁ и Q₂. Q₁ находится в первом квадранте. Часть Q₂ в первом квадранте ограничена: 1. Лучом OE (y=x,0≤x≤a/2). 2. Отрезком EF. Уравнение прямой EF: проходит через (a/2,a/2) и (0,a2). Наклон k=a2-a/2/0-a/2=a/2/-a/2=-1. Уравнение: y-a2=-1(x-0)⇒y=-x+a2. 3. Ось Y (x=0). Отрезок OF лежит на оси Y от 0 до a2. Но Q₁ ограничен сверху y=a. Так как a2>a, верхняя граница пересечения по оси Y — это y=a (точка D квадрата Q₁). 4. Граница Q₁ справа x=a и снизу y=0. Проверим, где прямая EF (y=-x+a2) пересекает границы Q₁. Пересечение с y=a: a=-x+a2⇒x=a(2-1). Так как 2≈1.41, x≈0.41a<a. Точка K(a(2-1),a) лежит на верхней стороне CD квадрата Q₁. Пересечение с x=a: y=-a+a2=a(2-1). Точка L(a,a(2-1)) лежит на правой стороне BC квадрата Q₁. Таким образом, общая часть — это пятиугольник O-E′-K-D-L? Нет, давайте определим полигон. Вершины пересечения: 1. O(0,0). 2. Движемся вдоль OE до выхода из Q₁? E(a/2,a/2). a/2≈0.707a<a. Точка E лежит внутри Q₁. 3. Из E идем вдоль EF до пересечения с границей Q₁. Мы нашли точку K на y=a. Лежит ли отрезок EK внутри Q₁? Да, так как x уменьшается от 0.707a до 0.414a, а y растет до a. Все x,y>0 и <a (кроме y=a). 4. Из K идем вдоль границы Q₁ (y=a) влево до оси Y? Нет, граница Q₂ дальше идет вниз по оси Y? Нет, сторона Q₂ это FO на оси Y. Но F(0,a2) выше D(0,a). Значит, участок OD принадлежит обеим фигурам? Проверим: точка (0,y) для y0 граница Q₂ это только OE и EF и FO. Итак, пересечение ограничено: - Осью Y от O до D(0,a). - Верхней стороной Q₁ от D до K(a(2-1),a). - Стороной Q₂ (прямой EF) от K до E(a/2,a/2). - Стороной Q₂ (прямой OE) от E до O. Это четырехугольник ODEK. Вычислим его площадь. Можно разбить на два треугольника: △ODE и △DEK? Или △ODK и △OEK? Лучше разбить вертикальной линией или горизонтальной. Разобьем на трапецию и треугольник? Нет, проще через координаты вершин: O(0,0),D(0,a),K(a(2-1),a),E(a/2,a/2). Проведем диагональ OK? Или разобьем на △ODK и △OKE. Площадь △ODK: основание OD=a (на оси Y), высота h_K=x_K=a(2-1). S_ODK=1/2·a·a(2-1)=a²(2-1)/2. Площадь △OKE: вершины O(0,0),K(a(2-1),a),E(a/2,a/2). Используем формулу площади через координаты: 2S_OKE=|x_O(y_K-y_E)+x_K(y_E-y_O)+x_E(y_O-y_K)| =|0+a(2-1)(a/2-0)+(a/2)(0-a)| =|a²(2-1)/2-a²/2| =|a²/2(2-1-1)|=|a²/2(2-2)| Так как 2<2, модуль раскрывается как a²/2(2-2)=a²(2-1). Тогда S_OKE=a²(2-1)/2. Общая площадь S=S_ODK+S_OKE=a²(2-1)/2+a²(2-1)/2=a²(2-1).

Проверка.

Полученный ответ a²(2-1) совпадает с ключом (2-1)a². Логика построения четырехугольника пересечения корректна: вершина E лежит внутри квадрата Q₁, вершина F снаружи, поэтому граница пересечения «срезает» угол квадрата Q₁ прямой EF.