ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 696

План решения.

Задача требует построить прямоугольный треугольник ABC (∠C=90^°), если дана гипотенуза c и отношение катетов a:b, равное отношению двух данных отрезков m:n. Поскольку форма треугольника определяется отношением катетов, а размер — длиной гипотенузы, мы можем сначала построить вспомогательный треугольник с нужной формой (отношением сторон), а затем подобием привести его к заданному размеру. Ключевая идея: все прямоугольные треугольники с одинаковым отношением катетов подобны.

Пошаговое построение.

1. Строим произвольный прямой угол XOY. На стороне OX откладываем отрезок OA=m, на стороне OY откладываем отрезок OB=n. Соединяем точки A и B. Получили вспомогательный прямоугольный треугольник AOB, у которого отношение катетов равно m:n.
2. На луче OX (или любом другом удобном) откладываем отрезок CD, равный данной гипотенузе c. Это будет гипотенуза искомого треугольника.
3. В точке C восстанавливаем перпендикуляр к CD. Нам нужно найти точку E на этом перпендикуляре так, чтобы треугольник CDE был подобен треугольнику AOB. Для этого используем свойство подобия: углы при основании должны быть равны соответствующим углам в △AOB.
4. Более надежный способ через подобие: Строим угол DCE, равный углу ABO (или BAO, в зависимости от того, какой катет соответствует какому). Но проще использовать теорему Фалеса или подобие.
   Давайте применим классический метод построения по двум элементам через подобие:
   1. Построим вспомогательный прямоугольный треугольник A′B′C′ с катетами A′C′=m и B′C′=n. Его гипотенуза A′B′=m²+n².
   2. Теперь нам нужно построить треугольник, подобный A′B′C′, с коэффициентом подобия k=c/A′B′.
   3. Построим угол α=∠B′A′C′ (угол между гипотенузой и катетом m).
   4. На одной из сторон данного прямого угла (гипотенузы c) отложим отрезок AB=c.
   5. В конце отрезка A построим угол, равный α, а в конце B — угол, равный β=∠A′B′C′. Пересечение сторон этих углов даст вершину C прямого угла.

Уточним алгоритм для чистового оформления:

• Постройте прямой угол MCN.
• На стороне CM отложите отрезок CA=m, на стороне CN отложите отрезок CB=n. Соедините A и B. Треугольник ABC имеет нужную форму.
• Постройте угол ∠CAB (обозначим его α).
• Проведите прямую линию и отложите на ней отрезок A₁B₁, равный данной гипотенузе c.
• При концах отрезка A₁ и B₁ по одну сторону от него построьте углы, равные α и 90^°-α соответственно. Точка пересечения свободных сторон этих углов будет вершиной C₁ искомого треугольника.

Доказательство и проверка.

Рассмотрим построенный треугольник A₁B₁C₁. По построению, сторона A₁B₁=c. Угол ∠C₁A₁B₁=α, а угол ∠C₁B₁A₁=90^°-α. Следовательно, третий угол ∠A₁C₁B₁=180^°-(α+90^°-α)=90^°. Таким образом, треугольник является прямоугольным с гипотенузой c.

Так как углы при острых вершинах равны углам вспомогательного треугольника ABC, то △A₁B₁C₁∼△ABC. Из подобия следует, что отношение катетов в новом треугольнике равно отношению катетов в старом: A₁C₁/B₁C₁=AC/BC=m/n. Условие выполнено.