ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 694

План решения.

Задача на построение треугольника по заданному углу и отношению сторон при известной медиане. Ключевая идея — использовать свойство медианы: она делит треугольник на два равновеликих треугольника, но для построения удобнее применить метод подобия или вспомогательную точку. Поскольку дано отношение AB:AC=2:3, можно представить стороны как AB=2x и AC=3x. Медиана AM соединяет вершину A с серединой стороны BC. Для построения воспользуемся тем фактом, что если продолжить медиану AM за точку M на отрезок MD, равный AM, то получится параллелограмм ABDC. В этом параллелограмме диагональ AD=2AM, а стороны BD=AC=3x и CD=AB=2x. Угол BAC нам известен, значит, мы можем построить треугольник ABD (или связанный с ним), используя свойства параллелограмма и данное отношение сторон.

Ход построения.

1. Построим угол XAY, равный данному углу A.
2. На стороне угла AX отложим произвольный отрезок AB₀ такой длины, чтобы удобно было работать (например, пусть AB₀=2 см). На стороне угла AY отложим отрезок AC₀ так, чтобы выполнялось условие задачи: AC₀=3 см (так как AB₀:AC₀=2:3).
3. Соединим точки B₀ и C₀ отрезком. Пусть M₀ — середина отрезка B₀C₀. Построим медиану AM₀ в полученном вспомогательном треугольнике AB₀C₀.
4. Измерим длину построенной медианы AM₀. Обозначим её через m₀.
5. Теперь нужно получить истинный размер треугольника. Дано, что медиана должна быть равна заданной длине AM. Построим четвертый пропорциональный отрезок или используем гомотетию. Проще всего: построим луч из точки A под любым углом к AM₀. Отложим на нём отрезок AK=m₀ и далее отрезок KL=AM (заданная длина медианы). Соединим K с M₀. Проведём прямую через L, параллельную KM₀, которая пересечёт продолжение AM₀ в точке M. Теперь AM — искомая медиана нужной длины.
6. Продолжим медиану AM за точку M на отрезок MD, равный AM. Получили точку D.
7. Так как ABDC должен быть параллелограммом (по построению через удвоение медианы), то точка C симметрична точке B относительно середины диагонали? Нет, проще вернуться к исходным сторонам. Мы нашли масштаб. Истинные стороны AB и AC лежат на лучах угла A. Их длины относятся как 2:3. Найдем их, используя подобие треугольников AB₀C₀ и искомых ABC. Коэффициент подобия k=AM/AM₀. Тогда AB=k·AB₀, AC=k·AC₀. Отложим эти длины на сторонах угла A. Получаем точки B и C.
8. Соединим B и C. Треугольник ABC — искомый.

Проверка.

В построенном треугольнике ABC угол A равен заданному по условию построения углов. Отношение сторон AB:AC равно 2:3, так как мы отложили отрезки, пропорциональные этому отношению, с одним коэффициентом подобия. Медиана AM проведена к стороне BC. По построению мы использовали гомотетию (подобие) с центром в A, которая сохраняет отношения длин и углы. Длина медианы AM была установлена равной заданной величине на шаге 5. Следовательно, все условия задачи выполнены.