ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 692

Для решения задачи построения треугольника по двум углам и биссектрисе из вершины меньшего угла воспользуемся методом подобия. Сначала мы построим вспомогательный треугольник, который будет подобен искомому, а затем с помощью коэффициента подобия получим нужный нам треугольник.

Пусть даны углы α и β, где α<β, и длина биссектрисы l_α. Построим произвольный луч AX. В точке A отложим угол ∠XAY=α. На стороне AY выберем произвольную точку B′. Теперь нужно построить угол при вершине B′ так, чтобы он был равен β. Для этого в точке B′ строим угол ∠AB′C′=180^°-(α+β) или просто достраиваем треугольник, зная два угла. Проще: на луче AX от точки A откладываем произвольный отрезок AC′. Соединяем B′ и C′. Угол при C′ должен быть равен третьему углу треугольника γ=180^°-α-β. Если мы просто возьмем произвольные стороны, то углы могут не совпасть. Правильнее: строим угол α при вершине A. На одной из сторон угла выбираем произвольную точку D. Строим биссектрису угла α — это луч AD. На этой биссектрисе откладываем произвольный отрезок AD. Через точку D проводим прямую под углом к стороне AB... Нет, стандартный алгоритм такой:

1. Строим угол ∠MAN=α.
2. Проводим биссектрису AK угла α.
3. На биссектрисе AK откладываем произвольный отрезок AD.
4. Через точку D проводим прямую, пересекающую стороны угла AM и AN в точках B′ и C′ соответственно, так, чтобы угол ∠AC′B′ был равен β (или ∠AB′C′=β, в зависимости от того, какой угол меньше). Поскольку α — меньший угол, то биссектриса идет из него. Нам нужно, чтобы в построенном треугольнике AB′C′ угол при одной из вершин основания был равен β. Пусть ∠AB′C′=β. Тогда ∠AC′B′=180^°-α-β.

Более надежный способ построения вспомогательного треугольника AB′C′, подобного искомому:

1. Строим угол ∠XAY=α.
2. Внутри угла проводим биссектрису AZ.
3. Выбираем произвольную точку P на биссектрисе AZ.
4. Через точку P проводим прямую, которая образует с стороной AX угол, равный β. Пусть эта прямая пересекает AX в точке B′, а сторону AY — в точке C′. Теперь у нас есть треугольник AB′C′, в котором AP — биссектриса угла A, и угол ∠AB′C′=β (или смежный с ним, нужно проверить ориентацию). Если угол β тупой или прямой, построение может потребовать продолжения сторон. Обычно достаточно провести через P прямую под углом β к одной из сторон.

Получили треугольник AB′C′, подобный искомому. Измерим длину его биссектрисы AP. Обозначим её за l′. Искомая биссектриса имеет длину l. Коэффициент подобия k=l/l′.

Теперь выполним гомотетию с центром в точке A и коэффициентом k. Точки B′ и C′ перейдут в точки B и C. Треугольник ABC будет искомый. Его биссектриса AD будет равна k·AP=l, а углы сохранятся (∠A=α, ∠B=β).