ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 693

Для построения треугольника по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла, нам необходимо сначала определить все три угла треугольника. Пусть даны углы α и β, а также высота h. Третий угол γ можно найти, используя свойство суммы углов треугольника: γ=180^°-(α+β).

План построения:

1. Строим вспомогательный треугольник A′B′C′, подобный искомому, но с произвольным масштабом. Для этого строим угол α при вершине A′ и угол β при вершине B′. Стороны этих углов пересекаются в точке C′, образуя третий угол γ.
2. Проводим высоту C′H′ из вершины C′ к стороне A′B′. Измеряем её длину линейкой или циркулем.
3. На луче, исходящем из точки H′ перпендикулярно A′B′ (или просто на прямой, содержащей высоту), откладываем отрезок HK, равный заданной высоте h. Теперь у нас есть масштабный коэффициент k=h/C′H′.
4. Строим искомый треугольник ABC, гомотетичный треугольнику A′B′C′ с центром в точке C′ и коэффициентом k. Для этого продлеваем стороны C′A′ и C′B′ так, чтобы получить новые точки A и B, удовлетворяющие условиям CA=k·C′A′ и CB=k·C′B′. Однако более простой способ для школьного курса — использовать метод подобия через параллельные прямые или перенос углов.

Более практичный алгоритм построения (метод «угла и высоты»):

• Строим прямую l (будущее основание треугольника).
• Строим угол α так, чтобы одна его сторона лежала на прямой l, а вершина была в точке A на этой прямой.
• Строим угол β так, чтобы одна его сторона лежала на прямой l, а вершина была в точке B на этой прямой. При этом нужно учитывать ориентацию углов относительно основания.
• Точка пересечения свободных сторон углов будет вершиной C. Но мы не знаем заранее положение точек A и B на прямой l.

Корректный пошаговый план решения задачи №693:

1. Строим произвольный треугольник A₁B₁C₁ с углами ∠A₁=α и ∠B₁=β. Тогда ∠C₁=180^°-(α+β).
2. Проводим высоту C₁H₁ из вершины C₁ к стороне A₁B₁.
3. Строим отрезок CH, равный заданной высоте h. В точке H восстанавливаем перпендикуляр к CH.
4. Через точку C проводим две прямые, образующие с высотой CH те же углы, что и стороны C₁A₁ и C₁B₁ образуют с высотой C₁H₁ во вспомогательном треугольнике. То есть, если ∠H₁C₁A₁=x и ∠H₁C₁B₁=y, то строим ∠HCA=x и ∠HCB=y.
5. Точки пересечения этих прямых с перпендикуляром к CH в точке H дадут вершины A и B искомого треугольника.

Проверка: Полученный треугольник ABC имеет высоту CH=h по построению. Углы при основании A и B будут равны α и β, так как они являются соответственными углами в подобных треугольниках ABC и A₁B₁C₁ (построены через сохранение углов при вершине C относительно высоты). Таким образом, задача решена.