ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 695

План решения.

Задача относится к типу «построение по углу и стороне при заданном отношении двух других сторон». Ключевая идея — использовать свойство подобия. Если мы построим вспомогательный треугольник AB′C′ с тем же углом A и таким же отношением сторон AB′:AC′=2:1, то он будет подобен искомому треугольнику ABC. Это означает, что сторона B′C′ будет параллельна стороне BC (или лежать на одной прямой с ней в зависимости от ориентации), а само положение точки A относительно стороны BC определяется через геометрическое место точек, из которых отрезок BC виден под углом, связанным с коэффициентом подобия. Однако более простой путь для школьного курса — метод подобия: строим произвольный угол A, на его сторонах откладываем отрезки в отношении 2:1, получаем вспомогательный треугольник, затем находим коэффициент подобия, чтобы сторона вспомогательного треугольника стала равна данной BC.

Ход построения.

1. Строим произвольный угол β, равный данному углу A.
2. На одной стороне угла откладываем отрезок AC₁ произвольной длины x.
3. На другой стороне угла откладываем отрезок AB₁ так, чтобы AB₁=2×AC₁=2x. Соединяем точки B₁ и C₁. Получили вспомогательный треугольник AB₁C₁, где AB₁/AC₁=2/1.
4. Теперь нужно увеличить этот треугольник так, чтобы сторона B₁C₁ стала равна заданной длине BC. Для этого строим луч из вершины A через точку B₁.
5. Откладываем на этом луче отрезок AB такой, что отношение AB:AB₁ равно отношению желаемой стороны BC к построенной стороне B₁C₁. То есть, если измерить линейкой длину B₁C₁ и сравнить её с длиной данного отрезка BC, то масштаб увеличения k=BC/B₁C₁. Строим отрезок AB=k×AB₁.
6. Через точку B проводим прямую, параллельную B₁C₁, до пересечения со второй стороной угла A. Точку пересечения обозначаем C.
7. Треугольник ABC — искомый.

Доказательство и проверка.

По построению угол A совпадает с данным. Так как BC||B₁C₁, то треугольники ABC и AB₁C₁ подобны по двум углам (△ABCbacksim△AB₁C₁). Из подобия следует, что отношения соответствующих сторон равны: AB/AB₁=AC/AC₁=BC/B₁C₁. Поскольку в исходном вспомогательном треугольнике было выполнено условие AB₁/AC₁=2/1, то и в итоговом треугольнике выполняется AB/AC=2/1. Также по построению длина стороны BC равна заданной величине. Таким образом, все условия задачи выполнены.