ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 705

План решения.

Для вычисления площади трапеции нам необходимо знать высоту. В равнобедренной трапеции с основаниями a и b (a<b) высота h, опущенная из вершины меньшего основания на большее, отсекает прямоугольный треугольник. Катет этого треугольника, лежащий на большем основании, равен половине разности оснований: x=b-a/2. Зная угол при основании α и катет x, можно найти высоту h через тангенс угла. После нахождения высоты применим формулу площади трапеции.

Вычисление.

Дано: основания a=2 см, b=6 см, угол при большем основании α.

1. Найдем проекцию боковой стороны на большее основание (катет прямоугольного треугольника): x=b-a/2=6-2/2=4/2=2 см .
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой h, отрезком x и боковой стороной. Угол между гипотенузой (боковой стороной) и катетом x равен α. По определению тангенса острого угла: tanα=h/ximpliesh=x·tanα=2tanα см.
3. Вычислим площадь трапеции по формуле S=a+b/2·h: S=2+6/2·(2tanα)=8/2·2tanα=4·2tanα=8tanα см².

Проверка.

Если угол α стремится к 90^°, то трапеция вырождается в прямоугольник шириной 2 см и высотой, стремящейся к бесконечности (при фиксированном отрезке x=2 это невозможно геометрически для конечных размеров, но логика роста площади верна). Если взять конкретный пример, например, α=45^°, то tan45^°=1. Тогда высота h=2·1=2 см. Площадь S=2+6/2·2=8 см². Формула дает 8·1=8 см². Результаты совпадают. Ответ корректен.