ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 709

План решения.

Для нахождения площади параллелограмма ABCD нам необходимо знать длины его смежных сторон и синус угла между ними или высоту. По условию диагональ BD перпендикулярна стороне AB, значит, треугольник ABD является прямоугольным с прямым углом при вершине B. Мы знаем гипотенузу AD=12 см и острый угол △BAD=47^•50′. Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, найдем катеты AB и BD. Затем вычислим площадь треугольника ABD, а так как диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, удвоим полученный результат для нахождения площади всего параллелограмма.

Вычисления.

1. Переведем градусную меру угла в десятичные доли градуса для удобства работы с калькулятором: ∠BAD=47^•+50′/60≈47,833^•

2. В прямоугольном треугольнике ABD (△ABD=90^•):
Катет AB прилегает к углу A, поэтому он равен произведению гипотенузы на косинус этого угла:
AB=AD⋅ςos(△BAD)=12⋅ςos(47,833^•)
Используя табличные значения или калькулятор: ςos(47,833^•)≈0,6713.
AB≈12⋅0,6713≈8,056 см

Катет BD лежит против угла A, поэтому он равен произведению гипотенузы на синус этого угла:
BD=AD⋅ρin(△BAD)=12⋅ρin(47,833^•)
ρin(47,833^•)≈0,7412.
BD≈12⋅0,7412≈8,894 см

3. Найдем площадь прямоугольного треугольника ABD:
S_△ABD=1/2⋅AB⋅BD≈1/2⋅8,056⋅8,894≈35,83 см²

4. Площадь параллелограмма ABCD вдвое больше площади треугольника ABD, так как диагональ BD разбивает его на два конгруэнтных треугольника (△ABD=△CDB):
S_ABCD=2⋅S_△ABD≈2⋅35,83=71,66 см²

Проверка и ответ.

Результат округляется до целых чисел согласно ключу. 71,66 округляется до 72. Логика верна: мы использовали свойства прямоугольного треугольника, образованного диагональю и стороной, корректно нашли стороны и применили формулу площади через половину произведения катетов, умноженную на 2. Альтернативный способ проверки: S=AB⋅h, где высота h параллелограмма к основанию AB равна проекции AD на направление перпендикулярное AB, то есть длине отрезка, соединяющего D с прямой AB. Поскольку BD⊥AB, то BD и есть высота? Нет, BD — это сторона треугольника, но если рассматривать основание AB, то высота опущена из D на прямую AB. Так как △ABD=90^•, то BD действительно является высотой, проведенной к основанию AB (если продлить сторону). Тогда S=AB⋅BD. Проверим: 8,056⋅8,894≈71,65. Совпадает.