ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 712
Тема: Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Павел Лебедев, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются в точке O. Найдите отношение OK:ON, если MN=5 см, NP=3 см, MP=7 см.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрисы треугольника. Нам нужно найти отношение отрезков OK и ON, на которые точка пересечения биссектрис O делит биссектрису NK. Рассмотрим треугольник MNP и его биссектрису MD. По теореме о биссектрисе, она делит противоположную сторону NP в отношении прилежащих сторон.
Сначала найдем точку D на стороне NP. Так как MD — биссектриса угла M, то выполняется равенство: ND/DP=MN/MP Подставим известные значения: MN=5 см, MP=7 см. Тогда ND/DP=5/7 Поскольку вся сторона NP=3 см, мы можем выразить длины отрезков ND и DP. Пусть ND=5x, а DP=7x. Тогда 5x+7x=12x=3, откуда x=3/12=1/4. Следовательно, ND=5·1/4=5/4 см, а DP=7·1/4=7/4 см.
Теперь рассмотрим треугольник NPD (или правильнее сказать, применим теорему о биссектрисе к треугольнику MND или используем свойства центра вписанной окружности). Точка O является центром вписанной окружности треугольника MNP, так как это точка пересечения биссектрис. Нам нужно найти отношение OK:ON, где K лежит на стороне MP, а N — вершина треугольника. Биссектриса NK выходит из вершины N и пересекает сторону MP в точке K. Однако нас интересует отношение, в котором точка O делит саму биссектрису NK.
Воспользуемся известным свойством: точка пересечения биссектрис (инцентр) делит биссектрису, проведенную из вершины, в отношении суммы двух других сторон к третьей стороне этой вершины. Для биссектрисы NK, проведенной из вершины N, отношение частей NO:OK равно (MN+NP):MP? Нет, давайте проверим формулу точнее. Инцентр O делит биссектрису BN (где B - вершина) в отношении (AB+BC):AC? Формула для отношения BO:OD (где D на стороне AC) равна (AB+BC):AC. В нашем случае биссектриса NK идет из вершины N к стороне MP. Точка O лежит на ней. Отношение NO:OK равно сумме длин двух сторон, выходящих из вершины N, к длине третьей стороны MP. То есть NO/OK=MN+NP/MP Подставим числа: MN=5, NP=3, MP=7. NO/OK=5+3/7=8/7 Таким образом, NO:OK=8:7. Нас просят найти отношение OK:ON. Это обратное отношение: OK/ON=7/8
7/8
Использовано свойство инцентра: он делит биссектрису, проведенную из вершины, в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей стороне. Для вершины N прилежащие стороны MN=5 и NP=3, противолежащая MP=7. Отношение NO:OK = (5+3):7 = 8:7. Искомое отношение OK:ON = 7:8.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 712 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 712?
Краткий ответ: 78.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.