ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 715

План решения.

Для доказательства того, что отрезок AD является биссектрисой угла A, воспользуемся методом площадей. Нам дано соотношение длин отрезков на стороне BC: BD/AB=DC/AC. Преобразуем это равенство так, чтобы связать отношения сторон треугольника с отношениями площадей треугольников ABD и ADC. Если мы покажем, что расстояния от точки D до сторон AB и AC равны, то по признаку биссектрисы (точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе) утверждение будет доказано.

Вычисление и обоснование.

1. Рассмотрим площади треугольников ABD и ADC. Эти треугольники имеют общую высоту, опущенную из вершины A на прямую BC. Обозначим эту высоту через h_a. Тогда их площади равны:

Отношение этих площадей равно отношению оснований:

2. Теперь выразим те же самые площади другим способом, используя стороны AB и AC как основания. Пусть DH₁ — перпендикуляр, опущенный из точки D на сторону AB, а DH₂ — перпендикуляр, опущенный из точки D на сторону AC. Тогда:

Отношение площадей в этом случае:

3. Приравняем два выражения для отношения площадей:

Из условия задачи нам известно, что BD/AB=DC/AC. Перепишем это условие в виде пропорции:

Подставим это отношение в уравнение из пункта 3:

Разделим обе части равенства на дробь AB/AC (так как стороны треугольника положительны):

Проверка и вывод.

Мы получили, что точка D равноудалена от сторон угла BAC (DH₁=DH₂). По геометрическому свойству биссектрисы, любая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от его сторон, находится на биссектрисе этого угла. Следовательно, луч AD делит угол BAC пополам, то есть AD является биссектрисой треугольника ABC. Что и требовалось доказать.