ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 717
Тема: Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Павел Лебедев, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите, что медиана AM треугольника ABC делит пополам любой отрезок, параллельный стороне BC, концы которого лежат на сторонах AB и AC.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Пусть в треугольнике ABC проведена медиана AM, где M — середина стороны BC. Рассмотрим произвольный отрезок DE, параллельный стороне BC, с концами на сторонах AB и AC соответственно (D∈AB, E∈AC). Обозначим точку пересечения медианы AM с отрезком DE как K. Нам нужно доказать, что точка K является серединой отрезка DE, то есть DK=KE.
Вычисление и обоснование.
Так как DE∥BC, то по теореме Фалеса (или через подобие треугольников) можно рассмотреть два случая для частей отрезка DE: левую часть DK и правую часть KE. 1. Рассмотрим треугольник ABM. Прямая DK параллельна основанию BM (так как DE∥BC). По свойству параллельных прямых, отсекающих пропорциональные отрезки на сторонах угла, или из подобия треугольников △ADK∼△ABM, имеем соотношение: DK/BM=AK/AM Отсюда выразим длину DK: DK=BM·AK/AM 2. Теперь рассмотрим треугольник ACM. Прямая KE параллельна основанию MC (так как DE∥BC). Аналогично, из подобия треугольников △AKE∼△AMC, получаем соотношение: KE/MC=AK/AM Отсюда выразим длину KE: KE=MC·AK/AM 3. Так как AM — медиана треугольника ABC, то по определению она делит сторону BC пополам. Следовательно, отрезки BM и MC равны: BM=MC 4. Подставив равенство BM=MC в выражения для DK и KE, видим, что правые части уравнений идентичны: DK=BM·AK/AM=MC·AK/AM=KE Таким образом, DK=KE.
Проверка и вывод.
Мы показали, что точка пересечения медианы AM с любым отрезком DE, параллельным основанию BC, делит этот отрезок на две равные части (DK=KE). Это означает, что медиана AM действительно проходит через середину отрезка DE. Утверждение доказано.
Доказательство: Пусть DE∥BC, D∈AB, E∈AC, K=AM∩DE. Из подобия △ADK∼△ABM следует DK/BM=AK/AM. Из подобия △AKE∼△AMC следует KE/MC=AK/AM. Так как AM — медиана, то BM=MC. Следовательно, DK=KE, что и требовалось доказать.
Задача решается стандартным методом подобия треугольников или применения теоремы Фалеса к частям треугольника, образованным медианой. Ключевой момент — использование того факта, что медиана делит основание пополам (BM=MC), и общего коэффициента подобия (AK/AM) для обеих половин отрезка.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 717 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 717?
Краткий ответ: Доказательство: Пусть DE BC, D AB, E AC, K = AM DE. Из подобия ADK ABM следует DKBM = AKAM. Из подобия AKE AMC следует KEMC = AKAM. Так как AM — медиана, то BM=MC. Следовательно, DK=KE, что и требовалось доказать.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.