ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 714

План доказательства.

Для сравнения отрезков AM и MC, лежащих на одной прямой AC, удобно использовать свойство биссектрисы треугольника или теорему синусов. Однако в рамках темы «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника» и общих свойств треугольников, наиболее элементарным путем является анализ углов в треугольнике AOC. Мы докажем неравенство сторон через неравенство противолежащих им углов в треугольнике AMC (или смежных с ним), либо используя свойства биссектрисы. Рассмотрим треугольник AOC. Точка M лежит на биссектрисе угла O. Нам нужно сравнить AM и MC. Вспомним, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Если один угол больше другого, то против большего угла лежит большая сторона. Попробуем выразить углы △AMC через углы исходного равнобедренного △AOB.

Ход решения.

1. Пусть △AOB — равнобедренный с основанием AB. Тогда боковые стороны равны: OA=OB. Углы при основании равны: ∠OAB=∠OBA. 2. Обозначим угол при вершине O как 2α. Так как OM — биссектриса угла AOB, то ∠AOM=∠MOB=α. 3. Сумма углов треугольника AOB: 2α+2∠OAB=180^°, откуда ∠OAB=90^°-α. 4. Рассмотрим треугольник AOC. Точка C лежит на продолжении OB за точку B. Значит, угол ∠AOC=2α. 5. Найдем угол ∠OAC. Он равен ∠OAB+∠BAC. Это сложно оценить напрямую. Лучше рассмотреть треугольник AMC и найти его углы. 6. Давайте воспользуемся методом сравнения углов в треугольнике AMC. Нам нужно доказать AM<MC. Это эквивалентно доказательству того, что угол, противолежащий стороне MC (то есть ∠MAC), меньше угла, противолежащего стороне AM (то есть ∠MCA). 7. Вычислим ∠MCA. Это тот же самый угол ∠OCA в треугольнике AOC. Из треугольника AOC: ∠OCA=180^°-∠AOC-∠OAC. Не совсем удобно. 8. Попробуем другой подход, опираясь на задачу 642 (обычно это задача о том, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, или свойства проекций). Но здесь M не на стороне AC? Нет, M — точка пересечения AC и биссектрисы OM. Значит, M лежит на стороне AC треугольника AOC. 9. Применим теорему о биссектрисе к треугольнику AOC. Биссектриса OM делит сторону AC на отрезки AM и MC так, что: AM/MC=OA/OC 10. Нам нужно доказать, что AM<MC. Из пропорции выше это равносильно тому, что OA/OC<1, то есть OA<OC. 11. Проверим неравенство OA<OC. По условию, C лежит на продолжении боковой стороны OB за точку B. Значит, точки расположены в порядке O,B,C. Следовательно, длина отрезка OC равна сумме длин OB и BC: OC=OB+BC. 12. Поскольку BC>0 (так как C взята на продолжении, а не совпадает с B), то OC>OB. 13. Треугольник AOB равнобедренный с основанием AB, значит, боковые стороны равны: OA=OB. 14. Подставив OA вместо OB, получаем: OC>OA. 15. Возвращаясь к пункту 10: так как OA<OC, то отношение OA/OC<1. 16. Следовательно, AM/MC<1, что означает AM<MC.

Проверка и вывод.

Логика цепочки рассуждений верна. Мы использовали свойство биссектрисы треугольника AOC, которая отсекает на стороне AC отрезки, пропорциональные сторонам OA и OC. Сравнение этих отрезков свелось к сравнению самих сторон OA и OC. Из геометрии расположения точек (O-B-C) и условия равнобедренности (OA=OB) следует строгое неравенство OC>OA. Таким образом, меньшая сторона OA соответствует меньшему отрезку AM, а большая сторона OC — большему отрезку MC. Доказательство завершено.