ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 718

План решения.

Для доказательства соотношений между отрезками и нахождения высоты x точки пересечения перекладин воспользуемся свойствами подобных треугольников. В прямоугольном треугольнике с вертикальными сторонами (шестами) и горизонтальной основой (землёй) можно выделить пары треугольников, имеющие общие углы или вертикальные углы при точке пересечения диагоналей трапеции, образованной шестами и землёй.

Вычисление и доказательство.

а) Рассмотрим треугольники △ABO и △CDO. Поскольку шесты AB и CD установлены вертикально, они параллельны друг другу (AB∥CD). Следовательно, углы ∠BAO и ∠DCO равны как накрест лежащие при секущей AC, а углы ∠ABO и ∠CDO равны как накрест лежащие при секущей BD. Также углы ∠AOB и ∠COD равны как вертикальные. Таким образом, △ABO∼△CDO по двум углам.

Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон. Однако нам нужно связать отрезки на земле и высоту. Давайте посмотрим на другие пары треугольников. Рассмотрим △ADC и треугольник, образованный высотой из точки O до земли. Пусть проекция точки O на землю — точка H, тогда OH=x. Так как AB⊥AD и CD⊥AD, то AB∥OH∥CD. В треугольнике △ABD отрезок OH параллелен стороне AB. По теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия △DOH∼△DBA): OH/AB=DH/DA Здесь OH=x, AB=a. Расстояние между шестами обозначим d, то есть AD=d. Тогда DH — это часть расстояния d. Обозначим AH=n, HD=m, так что m+n=d. Тогда x/a=m/dimpliesm/d=x/a Аналогично, в треугольнике △ACD отрезок OH параллелен стороне CD. Из подобия △AOH∼△ACD: OH/CD=AH/AD Здесь OH=x, CD=b, AH=n, AD=d. Тогда x/b=n/dimpliesn/d=x/b *Примечание:* В условии пункта а) записано m/d=x/b и n/d=x/a. Проверим соответствие букв на рисунке. Обычно m и n — это отрезки основания, на которые делит высота точку H. Если m соответствует проекции на сторону CD (треугольник с катетом b), то отношение будет через b. В стандартных задачах такого типа: если m — отрезок ближе к шесту CD (длиной b), то △DOHbacksim△DBA не подходит напрямую для b. Давайте переопределим строго по геометрии. Пусть H — основание перпендикуляра из O на AD. OH=x. AH=n, HD=m. AD=d. 1) Треугольник △AOH подобен треугольнику △ACD (так как OH∥CD). OH/CD=AH/AD⇒x/b=n/d 2) Треугольник △DOH подобен треугольнику △DBA (так как OH∥AB). OH/AB=DH/DA⇒x/a=m/d Таким образом, получаем: n/d=x/b и m/d=x/a. В условии задачи написано наоборот: m/d=x/b и n/d=x/a. Это означает, что в условии под m подразумевается отрезок AH (ближе к левому шесту AB?), а под n — отрезок HD. Или же просто путаница в обозначениях m и n относительно шестов a и b. Будем считать, что m и n — это части основания d, такие что сумма их равна d. Главное соотношение, которое мы вывели геометрически верно: x/a+x/b=m/d+n/d=m+n/d=d/d=1 Если следовать тексту условия буквально, где m/d=x/b, то m соответствует отрезку, связанному со стороной b. Допустим, m=AH, n=HD. Тогда AH/AD=x/b верно для △AOH∼△ACD. И HD/AD=x/a верно для △DOH∼△DBA. Значит, в условии m — это отрезок у шеста AB? Нет, обычно m и n произвольны. Примем выводы: одна доля равна x/a, другая x/b.

б) Сложим полученные равенства из пункта а): m/d+n/d=x/b+x/a Так как m+n=d (отрезки составляют всю длину основания), то левая часть равна: m+n/d=d/d=1 Следовательно: x/a+x/b=1

Нахождение x и проверка независимости от d.

Решим уравнение x/a+x/b=1 относительно x: x(1/a+1/b)=1 x(b+a/ab)=1 x=ab/a+b В полученной формуле x=ab/a+b переменная d (расстояние между шестами) отсутствует. Это доказывает, что высота точки пересечения перекладин зависит только от длин самих шестов a и b, но не от расстояния между ними.